[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] Bueno, ya estamos en la recta final del curso de álgebra básica, y estamos tratando el tema de ecuación de segundo grado. En los videos anteriores, vimos dos maneras de resolver dichas ecuaciones. Una, por factorización, cuando era relativamente fácil encontrar dos números que multiplicados dieran algunos, algún número conocido, y sumados dieran otro. Después vimos que en algunos casos eso no era posible, y vimos otro método que es el de completar cuadrados. Eh, lo que vamos a ver ahora es justamente aplicar el método de completar cuadrados, pero para resolver el caso general y llegar a una fórmula que se llama la forma general de ecuación, de la ecuación de segundo grado. Muchas veces las ecuaciones que surgen de los problemas, pues no pueden resolverse por factorización, a veces pues porque son números decimales, a veces son fracciones más o menos difíciles, o aunque sean enteros a lo mejor no hay las factorizaciones enteras que nos hacía falta. Así, y por otro lado, vimos que el método de completar cuadrados, si bien es un método bastante general, no deja de ser un poco laborioso, por lo cual es fácil de, de cometer errores. Entonces, lo que vamos a hacer es utilizar este método para encontrar una fórmula que nos permita resolver ahora sí cualquier ecuación de segundo grado de la forma ax cuadrada + bx + c. Lo primero que vamos a hacer es dividir todo entre a. [AUDIO_EN_BLANCO] Esto tiene sentido, ya que a no vale 0, ya que si a fuera igual a 0 pues entonces estaríamos hablando de una ecuación lineal bx + c igual a 0. Entonces, si es una ecuación cuadrática, forzosamente la a es distinta de 0. Una vez hecho esto, lo que hacíamos para completar cuadrados era pasar el término independiente del otro lado de la igualdad. Entonces, el término c sobre a, que está aquí con signo positivo, pasa del otro lado con signo negativo, y se lo sumamos a 0, y nos queda simplemente menos c sobre a. Y ahora viene el paso de completar un trinomio cuadrado perfecto a partir de este binomio. Lo que necesitamos hacer es fijarnos en el término del medio, dividirlo entre 2 y elevarlo al cuadrado, ese es el número que hay que sumar, es b sobre a entre 2, nos queda b sobre 2a, y todo esto lo elevamos al cuadrado. Y recordamos que si sumamos algo del lado izquierdo, tenemos que sumar el mismo número del otro lado, para que la igualdad no se altere. Así que del lado derecho también sumamos b sobre 2a al cuadrado. [AUDIO_EN_BLANCO] Bueno, aquí copié la, es la misma ecuación que teníamos en la lámina anterior. Ahora sí, este trinomio que tenemos en el lado izquierdo es un trinomio cuadrado perfecto, es el cuadrado de x + b sobre 2a, podemos verificar directamente, es el cuadrado de este binomio, es x cuadrada, aquí está; después 2 veces el primero por el segundo, entonces 2 veces x por b sobre 2a, ese 2 se cancela con el de 2 veces, y me queda b sobre a por x, más el cuadrado del segundo que aquí lo tengo explícitamente, b sobre 2a al cuadrado. Del lado derecho simplemente tengo un, una fracción al cuadrado, entonces elevo al cuadrado el numerador y el denominador; arriba me queda b cuadrada, y abajo me queda el cuadrado de 2 es 4, el cuadrado de a es a cuadrada, y le sigo restando este c sobre 2a. En este paso, solamente tomé como común denominador 4a cuadrada, y me queda 4a cuadrada entre 4a cuadrada es 1, por b cuadrada me queda b cuadrada; 4 al cuadrado entre a, me queda 4a por c, es 4ac, y como aquí tenía menos, aquí también tengo menos. [AUDIO_EN_BLANCO] Y ahora sacamos raíz de ambos lados. En los videos anteriores hice mucho hincapié que si tengo un número y lo elevo al cuadrado y saco su raíz cuadrada, el resultado que obtengo es el valor absoluto de el número con el que empecé. Así que del lado izquierdo obtengo el valor absoluto de x + b sobre 2a; y del lado derecho simplemente pongo explícitamente la raíz cuadrada de la fracción que tengo aquí adentro. Y como mencionábamos cuando hicimos los ejercicios de completar cuadrados, el hecho de que el valor absoluto de un número sea igual a cierta cantidad, quiere decir que si lo vemos en la recta, aquí tenemos el 0, por aquí tenemos esta raíz cuadrada que tiene muchas cosas acá adentro, y aquí tenemos el negativo de esa raíz cuadrada de ese mismo. Y entonces, este número x + b sobre 2a, puede ser cualquiera de estos dos valores. Así que tenemos que resolver dos ecuaciones lineales; una de ellas, x + b sobre 2a igual a esta raíz, aquí está; o bien, x + b sobre 2a igual a menos la raíz. Bueno, pues entonces ahora resuelvo cada una de estas. Aquí las tengo copiadas para no perderme. En el lado izquierdo simplemente paso el b sobre 2a del lado derecho restando, puesto que aquí está sumando; y para la otra, también paso el b sobre 2a del otro lado, también cambiándole de signo. Entonces, tengo estas dos expresiones cuya única diferencia es este signo, que aquí es más, y acá es menos. Como tengo el mismo denominador aquí y aquí, puedo escribir un solo denominador, y arriba me queda menos b a partir de aquí, + esta raíz; y del otro lado me, me queda el mismo 2a de estos 2, menos b de este de aquí, y menos la raíz de este de aquí. Como la única diferencia que hay entre estos dos números es el signo que está aquí, se suele abreviar poniendo las dos soluciones en una sola expresión, y decir x igual a menos b, que aparece en los dos lados, y ahora aquí tengo más, aquí tengo menos, y escribimos más o menos, la raíz del número b cuadrada menos 4ac, entre 2a. Entonces, esto en realidad está representando dos posibles números; uno con el signo más, y otro con el signo menos. Porque es posible un poquito más adelante vamos a analizar esto que está aquí adentro, para ver cuántas raíces tiene la ecuación. [MÚSICA] [MÚSICA]
