[MÚSICA] [MÚSICA] Entonces, en el video anterior vimos que si tengo una ecuación de la forma x cuadrada + bx + c y esa ecuación tiene soluciones, entonces las voy a poder resolver siempre utilizando el método de factorización que hemos estado utilizando. Vamos al siguiente caso, en el que vamos a tener una ecuación pero la x tiene un coeficiente distinto de 1. Lo que vamos a hacer es primero multiplicar estos 2 números, el coeficiente x cuadrada y el término independiente, 6 por 2 son 12, y vamos a buscar 2 números que multiplicados den este 12 y sumados den el menos 7 del medio. Dichos números son menos 3 y menos 4, ¿sí? Menos 3 por menos 4 da + 12 y menos 3 menos 4 da menos 7. Y entonces lo que vamos a hacer ahora es descomponer este término menos 7x utilizando que menos 7 es la suma de menos 3 y menos 4. Vamos a escribir en vez de menos 7, vamos a escribir menos 3 y menos 4. Es decir menos 7x lo vamos a descomponer como menos 3x y menos 4x. Y ahora vamos a asociar de 2 en 2 estos, vamos a agrupar estos dos por un lado, y estos 2 por otro. Obtengo 6x cuadrada menos 3x y en el otro lado tengo menos 4x + 12. Y sigo tratando de factorizar, si aquí factorizo lo más posible puedo factorizar 3x que multiplica a 2x menos 1. De aquí puedo factorizar 2, pero también puedo factorizar menos 2. La ventaja de factorizar menos 2 es que lo que me queda acá adentro, el 2x menos 1 es igual a este 2x menos 1 que está del lado izquierdo, y entonces puedo seguir factorizando. Así que factorizamos nuevamente, ya que tenemos el 2x menos 1 en los 2 términos. Nos queda 2x menos 1 factor de 3x menos 2, y recordamos nuevamente que el producto de 2 números es igual a 0, si alguno de ellos es 0, y solamente en ese caso. Así que esto da origen a dos ecuaciones de primer grado, 2x menos 1 igual a 0 o 3x menos 2 igual a 0. La solución de la primera es x igual a un medio y la solución de la segunda es x igual a 2 tercios. Podemos verificar que efectivamente un medio y 2 tercios son soluciones de la ecuación original. Vamos a recordar cuál era la ecuación, era 6x cuadrada menos 7x + 2 igual a 0. Entonces vamos a a hacer la sustitución de x igual a un medio en esta ecuación, en donde diga x ponemos un medio, y nos queda 6 por un medio al cuadrado menos 7 por un medio + 2, y esto vale 6 por un cuarto es 6 cuartos menos 7 medios + 2. Aquí esto tiene mitad, y entonces nos queda 2 como denominador, 3 menos 7 y 2 entre 1 es 2 por 2 son 4. Y efectivamente nos da 0. Les dejo como ejercicio que sustituyan el 2 tercios en la ecuación para que vean que efectivamente también es solución de ella. Vamos a plantear en general lo que hicimos en el ejemplo. Tenemos una ecuación de segundo grado donde ahora el coeficiente de x cuadrada ya no es 1. Entonces lo que vamos a buscar son 2 números p y q, cuyo producto sea igual al producto de estos 2, o sea de A y C, y cuya suma sea el coeficiente de en medio. Si los podemos encontrar entonces, este Bx lo podemos descomponer en en p por x + q por x, porque p + q es B. Y ahora agrupamos de 2 en 2, ¿sí?, y a partir de aquí la idea es seguir factorizando hasta obtener un producto de 2 ecuaciones lineales. En vez de seguirme con los datos abstractos, mejor vamos a ver unos ejemplos. Quiero resolver 2x cuadrada menos x menos 1 igual a 0. Multiplico estos 2, 2 por menos 1 es menos 2, y entonces quiero buscar 2 números, p y q de manera que su producto sea menos 2 y su suma sea el coeficiente de la x menos 1. Entonces 2 números que multiplicados den menos 2 y sumados den menos 1, pues son menos 2 y + 1. [AUDIO EN BLANCO] Menos 2 por + 1 es menos 2, y menos 2 + 1 es menos 1. Entonces lo que hago ahora es el coeficiente de en medio separarlo en una suma, utilizando que p + q es igual a menos 1. Y escribo 2x cuadrada menos 2x + 1 por x menos 1 igual a 0. Hice el 1 explícito para que se entienda mejor. Agrupo de 2 en 2 y factorizo de aquí todo lo que pueda. Aquí puedo sacar una 2x factor de x menos 1 y aquí realmente no factorizo 1. Pero si quieren para que quede más claro voy a escribir 1 por x menos 1 igual a 0. Me doy cuenta de que tengo lo mismo aquí que aquí, y entonces puedo factorizar x menos 1 por 2x + 1. Por eso hasta me conviene poner explícitamente el 1, para no equivocarme en esta factorización. Y de aquí puedo plantear 2 ecuaciones lineales, la ecuación x menos 1 igual a 0, cuya solución es x igual a 1, y la ecuación 2x + 1 igual a 0, cuya solución es menos un medio. Siempre vale la pena verificar arriba, si pongo x igual a 1, por 2 son 2, menos 1 menos 1 igual a 0. Y sustituyo el menos un medio, me queda aquí arriba 2 por menos un medio al cuadrado es un cuarto menos menos un medio es + un medio menos 1, y aquí me queda un medio + un medio es 1 menos 1 es 0. Entonces efectivamente las soluciones son x igual a 1 y x igual a menos un medio. Bueno vamos a otro ejemplo, quiero resolver esta ecuación. Busco 2 números que multiplicados me den 36, es 9 por 4, 36. Entonces busco 2 números que multiplicados den 36 y sumados den menos 12. Esos números son menos 6 y menos 6, p igual a menos a 6 y q igual a menos 6. Menos 6 por menos 6 da 36, y menos 6 menos 6 da menos 12. Y entonces utilizo que- 12 =- 6- 6. Para Para descomponer el término del medio de manera que me va a quedar 9x cuadrada menos 6x menos 6x + 4 igual a 0. Agrupo de 2 en 2, aquí para no equivocarme le digo + todo esto, igual a 0, y en cada uno de ellos factorizo lo más que puedo. Del primero factorizo lo más que pueda, 3x que multiplica a 3x menos 2, y de la segunda me gustaría que me quedara también 3x- dos, entonces me conviene sacar menos 2 que multiplica a 3x menos 2 y esto es = 0. Ahora sí obtengo lo mismo aquí que aquí, entonces puedo volver a factorizar y me queda 3x menos 2 (3x- 2) menos 2 igual a 0. A partir de aquí puedo plantear 2 ecuaciones lineales, cada una de estas igual a 0. Si se fijan es la misma, es decir este va a ser un caso en el que tenga yo una sola solución, o sea que la parábola está tocando en un solo punto al eje de las x. Y aquí obtengo 3x- 2 = 0, es decir x es igual a dos tercios y lo mismo de aquí. Entonces ésta es la única solución de este sistema. [MÚSICA] [MÚSICA]