Continuemos entonces con nuestro aprendizaje sobre las ecuaciones cuadráticas y la función cuadrática, ahora pasemos a la computadora. Me gustarÃa que hiciéramos uso de lo que you hemos aprendido, ¿no?, acerca del discriminante y les voy a proponer aquà unas expresiones que ustedes me van a decir cuál es la diferencia, ¿no?, entre ellas. Si ustedes me siguen aquà en la pantalla, entonces déjenme tomar aquà la pluma y les voy a escribir una expresión como esta 9 x cuadrada más 6 x más 1, igual a cero. Estoy escribiendo una ecuación cuadrática, ¿no?, estamos aquÃ, ecuaciones cuadráticas. Les voy a escribir otra: 9 x cuadrada más 6 x menos 1 igual a cero. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 que acabo de escribir? Un inocente signo de menos ¿no?, detrás del uno, ¿ok? Vamos a una tercera, ¿sÃ? 9 x cuadrada, más 6 x, más ¿qué pongamos?, algo que no sea tan, tan diferente, a ver, un 2, más 2 igual a cero, ¿ok? Entonces, con estas tres expresiones, o sea, uno dirÃa, bues pues, si se ven iguales, o sea, ¿cuál es la diferencia? Vean cómo en la simbologÃa matemática lo visual no es nada más con respecto a hacer gráficos, es también en lo algebraico. Estas expresiones que yo les estoy poniendo son a propósito, ¿no?, para que ustedes vean que prácticamente es lo mismo, o sea, pudiera ser que alguien que no está muy acostumbrado a ver diferencias en matemáticas, diga: pues, si son la misma, ¿no?, porque no alcanza a ver el 1, el menos 1 y el 2, en ese sentido ¿no?, como que la más parte es igual entre las expresiones y es una parte chiquita ¿no?, pequeña la que es diferente, ¿ok? Sin embargo, nosotros ahorita, gracias a esto de aquà you podrÃamos tener un criterio ¿no?, y diferenciar las tres ecuaciones cuadráticas que les di. Entonces podrÃamos pensar, déjenme ver si me puede, me deja cambiar el color esta cosa, podrÃamos pensar en que, denme un segundo, ¿no?, podrÃamos pensar en el discriminante de esta, o sea, vamos a poner el discriminante de esta ¿quién es el discriminante de esta? O sea, el término ¿se acuerdan de lo que you hemos aprendido? Acá tengo yo mis papelitos, sino se los enseño por aquÃ, ¿no?, aquà tenÃamos nuestra fórmula general, ¿ok?, y tendrÃamos entonces el término que está dentro del radical, este que está aquÃ, ¿no?, que serÃa el b cuadrado menos 4 c. Eso es lo único que voy a trabajar, ¿eh? No voy a trabajar y a resolver las ecuaciones. Solamente quiero que veamos el discriminante. Entonces el discriminante en este caso, ¿qué serÃa? b cuadrada, donde la b es un 6, nos queda 36, menos 4 por la a, que es un 9, 4 por 9 van, 9 por 4 son 36, ¿no?, por 1, menos 4 por 9, 36, o sea, voy a poner aquà el 4 por 9, 36 menos 4 por 9 por 1, ¿no?, y nos va a quedar tanto como cero, ¿ok? Entonces uno puede decir, esta va a tener una raÃz real doble, ¿ok? Esas son las cosas que hemos aprendido Vámonos con la segunda, ¿qué discriminante tiene esta? D igual a b cuadrada, que son 36, menos 4 por 9 por menos 1, o sea el signito de menos, ¿se fijan?, ¿qué va a alterar aquÃ?, ¿qué va a quedar? 36 más 36, o sea, un 72, ¿no?, positivo, ¿ok?, entonces ¿qué vamos a decir? Esta tiene dos soluciones reales distintas, ¿sÃ? Y este último, ¿qué tendrÃamos aquà para su discriminante? b cuadrada es 36, menos 4 por 9 por 2, ¿no?, y entonces nos va a quedar un 36 menos un 9 por 4 son 36 por 2, serÃa un 72, o sea nos va a quedar un menos 36, ¿cierto?, sà creo que sà salió bien la operación, ¿sÃ? 8, 72, sÃ, ok. Entonces ahorita dirÃamos esta tiene 2 soluciones complejas, imaginarias. Entonces, aún y cuando se ven tan iguales estas diferencias de aquà fueron determinantes para hacernos, digamos, clasificar a estas ecuaciones de una manera distinta, ¿no?, una ofrece una solución real repetida, la otra dos soluciones reales distintas y la otra dos soluciones complejas, ¿no?, o sea, no hay soluciones reales, ¿ok? Habiendo visto esto, a mà me gustarÃa que fuéramos a un software, ¿no? de estos que podemos utilizar con facilidad, estando aquà en la computadora, me gustarÃa que usáramos Graphmática que es algo que también ustedes han estado utilizando, ¿lo supongo?, ¿no?, está dentro de nuestros recursos, ¿no?, la información, para este software. Entonces, vamos a pedir en Graphmatica, aquà tengo you una ventana abierta que nos grafique las expresiones que vimos ahorita en el power point. Déjenme ver si me dejan manejarlo asà en este power point, pero lo, la diferencia va a ser que en la expresión antes del igual a cero, yo voy a poner una y, a lo mejor vale la pena que lo haga aquà con la pluma, a ver déjenme hacerlo, si me permiten aquà vamos a tomar el color y un color negro ¿no?, vamos a ver si nos deja tomar el negro, o sea, en lugar de esto yo le voy a decir al graficador, y igual a 9 x cuadrada más 6 x más 1 y le voy a decir en lugar de este y igual a 9 x cuadrada más 6 x menos 1 y finalmente le digo para el tercero y igual a 9 x cuadrada más 6 x más 2 para que veamos el reflejo, la consecuencia de esto que nos pasó con el discriminante. Ahora entonces me estoy pasando a la parábola vertical, estamos con una función cuadrática cuya gráfica es una parábola vertical, vamos a verlas, esas parábolas con nuestro software, ¿sÃ? Entonces, ¿qué fue lo que hice ahorita? Bauticé a la ecuación cuadrática con un y igual y la convertà entonces en una función cuadrática, ¿no?, una función cuadrática, estas que están aquà son you funciones cuadráticas y su gráfica va a ser una parábola vertical. Entonces vámonos al graficador y ahora sà you le puedo hablar en su idioma, en el graficador le tendrÃamos que decir y igual, ¿se fijan?, sino, no nos va a dejar graficar nada. Entonces, vamos adelante, y igual, igual a qué era, 9 x y vamos a ponerle al cuadrado, 9 x al cuadrado, más 6 x y ¿qué seguirÃa después?, más 1, ¿no?, más 1 y vamos a ver qué es lo que nos grafica, y ahà tenemos, fÃjense, esa es la que nos habÃa dicho antes, que se trataba de una solución real repetida y vean la forma que tiene el gráfico, ¿ok? Bueno, aún y cuando no hayamos notado nada, ahora vamos a decirle, ¿qué fue lo que hicimos? Le pusimos un menos 1. Voy a aprovechar lo que you tenÃa escrito y zaz, vean ahorita lo que pasó cuando le dije que graficara apareció la gráfica en tono rojo, ¿no?, finalmente, aquÃ, vamos a decirle que en lugar de menos 1, ¿qué le pusimos? un más 2, ¿no?, más 2 y zaz, y la gráfica que nos ofreció es de tono verde, ¿no?, asà fue, entonces, azul, rojo, verde. ¿Qué podemos notar de diferencias en estos gráficos? Pues, no sé si you lo habrán notado, pero la gráfica azul solamente toca en un punto el eje, la gráfica roja toca en dos puntos el eje y la gráfica verde no toca el eje, ¿ok? ¿Qué era lo que nosotros sabÃamos acerca de las soluciones de esta ecuación? O sea, you habÃamos visto acá, ¿no?, si me paso a Powerpoint, ¿no? ¿qué?, querÃa ponerlo asà chiquito, que se viera acá con respecto a las gráficas, pero you habÃamos visto nosotros de que habÃa solución doble, dos soluciones reales distintas y soluciones complejas, ¿no?, y eso lo estamos viendo reflejado en, ¿qué?, en azul, rojo y verde, una solución que se repite, una solución doble, dos soluciones reales distintas, con la roja y dos soluciones con la verde, ¿no?, o sea, el hecho de que no corta el eje horizontal está dando evidencia de que las soluciones de esta ecuación cuadrática son números complejos, ¿no?, ¿ok?, entonces, ahora tenemos esa interpretación. Me gustarÃa tomar una imagen para no quedarnos sin esta evidencia, ¿no?, de lo que hemos you visto, ¿ok? ¿Qué es lo que vamos a apuntarle aquÃ? Le vamos a decir que cuando tenemos la, vamos a poner en negro, ¿no?, cuando tenemos esto que pasa aquÃ, o sea, un "toca" el eje, ¿se fijan?, o sea la curva venÃa bajando y luego toca el eje y luego se regresa. Toca el eje está haciendo evidencia de una raÃz doble, ¿no?, en la ecuación cuadrática que se obtiene cuando igualo a cero la expresión, ¿ok? Luego, en el caso de la roja, podrÃamos señalarlo por acá, este lugar y este otro lugar me está diciendo 2 cortes con el eje x, con el eje x, estamos poniendo aquà el eje x ahorita, ¿no?, y entonces esto dijimos que nos da 2 raÃces reales distintas, ¿sÃ? Y finalmente con la verde ¿qué es lo que nos está pasando?, para la verde, o sea, podrÃamos decir, aquÃ, no corta al eje x, no pasa, no pasa por el eje x, ¿no?, y eso nos está diciendo que tenemos el caso de 2 raÃces complejas o imaginarias, ¿sÃ?, o sea, you no son, no son raÃces reales, ¿ok? Y todo es bien interpretable, como lo hemos visto desde que empezamos, ¿no? con este estudio del movimiento, ¿se acuerdan?, que estábamos viendo las, cuándo llegaban a ciertas posiciones nuestro chico Tec. Bueno las respuestas tienen que ver con todo lo que estamos recordando aquÃ, ¿ok? Ahora me gustarÃa que viéramos algo que me va a servir para lo que haremos después, ¿no?, cuando usamos, este, graficador. Siempre he aprovechado la caracterÃstica de este graficador para derivar, ¿se acuerdan?, o sea, aquà yo tengo una función y el graficador me ofrece un Ãcono aquà para derivar dice ahÃ: find derivative o en el menú de cálculos le puedo decir draw, no, perdón, find derivative, ¿sÃ?, y entonces es lo que vamos a hacer, o sea, vamos a hacerlo con, primero con la función primera que pusimos, que es la del 1, ¿verdad?, que era la azul, vamos a ver, si le decimos deriva, ahà está la derivada. Vean cómo la derivada es una recta que atravesó, ¿cierto?, y vean cómo esta recta, bueno, afortunadamente me quedó en azul, parece que sà está obedeciendo ahorita lo que, lo que le pedà al graficador y vean como cruza justamente por el lugar donde tocó el eje horizontal, ¿ok? Vamos a tomar ahora a la curva roja, la curva roja, según yo, es la que tiene, es la que tiene, ¿qué? Es la, las dos raÃces, sà you me acordé, era esta, ¿no?, que tenÃa las dos raÃces, ¿sÃ?, que tenÃa ese menos 1 y entonces vamos a decir derÃvala ¿no?, zaz, ¿qué pasó? Si se fijaron ustedes bien, o sea lo que pasó es que la recta azul se pintó de rojo. Es la misma, ¿no?, es la misma que la azul que tenÃamos con anterioridad. Si no estuviéramos viendo las dos imágenes ahorita. Noten cómo nuevamente cruza justo, justo donde tenemos aquà este lugar, que es lo que hemos llamado el mÃnimo, ¿ok?, en ese mÃnimo cruzó y de valores negativos a positivos, o sea, eso como que también nos está diciendo que el gráfico rojo decrecÃa y luego crece, ¿ok? Vamos finalmente a derivar con Graphmática, ¿no?, la última función que era la que tenÃa el 2, ¿ok? Entonces ahorita mismo voy a darle clic a derivar y vean qué pasó, ahora se nos pintó de tono verde la misma recta que you tenÃamos, o sea, en este, en este caso, para las expresiones que dimos, déjenme ver si las asomo aquÃ. Las expresiones que dimos, todas las que están acá, esta, esta y esta, ¿no?, si las derivamos todas nos dan la misma recta, ¿no?, la misma recta, la misma información y esa información está hablándonos, precisamente, del comportamiento de la parábola, ¿no? Estamos observando donde la, la derivada o la recta corta el eje cómo es, sigue siendo, la información importante para que uno pueda interpretar y decir que en ese lugar donde corta el eje horizontal la recta que es la derivada, vamos a tener el valor, en este caso, el valor mÃnimo, en esas gráficas, ¿no? Me gustarÃa que, dejarlos en este momento con esta imagen e invitarlos a que vayan a Graphma, no, perdón, no a Graphmática. Hay un software que ahora está en la red y que es fantástico también que nos ayuda a aprender matemáticas, que es justamente WolframAlpha. Ustedes pueden acceder al WolframAlpha, ¿no?, con la dirección wolframalpha nada más, ¿ok?, y entonces yo estaba ahorita viendo que con WolframAlpha podÃamos jugar, ahorita no es lo de la derivada, para eso es Graphmática, pero vean cómo aquà yo le dije resuelve esta ecuación, solve esta ecuación y entonces nos da la imagen de acá abajo, o sea si le podemos, le ponemos ahorita aquà un, detrás, un 9, como tenÃamos, ¿no?, luego ¿era un más 6 x o era un menos 6 x?, era un más. Vamos a ponerle un más 6 x y un, después un más 1, ¿no?, le doy enter y vean ustedes, ahà está trabajando y nos está dando las soluciones, vean que nos dio un resultado nada más que se trata precisamente de la solución real, que es doble, que you habÃamos nosotros pensado y vean cómo el gráfico está aquà y cómo toca solamente el eje justamente en la solución doble, ahà nos los da aproximados, ¿sà vieron?, donde me acerqué en el cursor, ¿ok? Si aquà en lugar del más 1 le ponemos un menos asà tan rápido como meter un signo de menos, ¿dónde está el menos?, aquà está. Vamos a ponerlo, ¿ok?, y entonces ahora ¿qué va a pasar?, vamos a tener que las soluciones nos las dio aproximadas, miren qué bien que nos dijo es aproximadamente igual. Son números irracionales en esta ocasión y vean en la gráfica que ahà están esos dos valores, uno negativo y otro positivo, ¿ok? Finalmente, si le decimos un más 2, aquÃ, un más 2, estoy utilizando WolframAlpha ahorita, ¿para qué? Para que ustedes practiquen en cuanto a la solución de ecuaciones cuadráticas y que observen cómo las soluciones son reales o imaginarias y vean ustedes el gráfico que nos dio. you nos está dando aquà otra cosa que no vamos a poder interpretar en el plano, digamos, real, ¿no?, pero aquà se nota que tenemos las raÃces imaginarias. Yo hubiera querido que aquà me graficara la parábola donde no iba a cortar, pero bueno, les digo, en esto también, o sea, es bueno que usemos el software para que también nuestra mente, ¿no?, se acostumbre a hacer las interprete, las interpretaciones adecuadas. Me voy a WolframAlpha y no tengo la imagen de la parábola que no corta, me vengo acá a Graphmática y esta parábola verde que no corta el eje me está diciendo que las raÃces son imaginarias, ¿no? Yo con esto los voy a dejar ahora. Los invito a que también, o sea, accedan a la página de WolframAlpha y que practiquen en este sentido con sus ecuaciones cuadráticas y sus soluciones y que, a la vez, o sea, you si no han trabajado o jugado con Graphmática, lo hagan ahora para que podamos utilizarlo en lo que sigue, ¿no?, en nuestra siguiente sesión. Los espero entonces.
