Continuemos entonces con nuestro aprendizaje sobre las ecuaciones cuadráticas y la función cuadrática, ahora pasemos a la computadora. Me gustaría que hiciéramos uso de lo que you hemos aprendido, ¿no?, acerca del discriminante y les voy a proponer aquí unas expresiones que ustedes me van a decir cuál es la diferencia, ¿no?, entre ellas. Si ustedes me siguen aquí en la pantalla, entonces déjenme tomar aquí la pluma y les voy a escribir una expresión como esta 9 x cuadrada más 6 x más 1, igual a cero. Estoy escribiendo una ecuación cuadrática, ¿no?, estamos aquí, ecuaciones cuadráticas. Les voy a escribir otra: 9 x cuadrada más 6 x menos 1 igual a cero. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 que acabo de escribir? Un inocente signo de menos ¿no?, detrás del uno, ¿ok? Vamos a una tercera, ¿sí? 9 x cuadrada, más 6 x, más ¿qué pongamos?, algo que no sea tan, tan diferente, a ver, un 2, más 2 igual a cero, ¿ok? Entonces, con estas tres expresiones, o sea, uno diría, bues pues, si se ven iguales, o sea, ¿cuál es la diferencia? Vean cómo en la simbología matemática lo visual no es nada más con respecto a hacer gráficos, es también en lo algebraico. Estas expresiones que yo les estoy poniendo son a propósito, ¿no?, para que ustedes vean que prácticamente es lo mismo, o sea, pudiera ser que alguien que no está muy acostumbrado a ver diferencias en matemáticas, diga: pues, si son la misma, ¿no?, porque no alcanza a ver el 1, el menos 1 y el 2, en ese sentido ¿no?, como que la más parte es igual entre las expresiones y es una parte chiquita ¿no?, pequeña la que es diferente, ¿ok? Sin embargo, nosotros ahorita, gracias a esto de aquí you podríamos tener un criterio ¿no?, y diferenciar las tres ecuaciones cuadráticas que les di. Entonces podríamos pensar, déjenme ver si me puede, me deja cambiar el color esta cosa, podríamos pensar en que, denme un segundo, ¿no?, podríamos pensar en el discriminante de esta, o sea, vamos a poner el discriminante de esta ¿quién es el discriminante de esta? O sea, el término ¿se acuerdan de lo que you hemos aprendido? Acá tengo yo mis papelitos, sino se los enseño por aquí, ¿no?, aquí teníamos nuestra fórmula general, ¿ok?, y tendríamos entonces el término que está dentro del radical, este que está aquí, ¿no?, que sería el b cuadrado menos 4 c. Eso es lo único que voy a trabajar, ¿eh? No voy a trabajar y a resolver las ecuaciones. Solamente quiero que veamos el discriminante. Entonces el discriminante en este caso, ¿qué sería? b cuadrada, donde la b es un 6, nos queda 36, menos 4 por la a, que es un 9, 4 por 9 van, 9 por 4 son 36, ¿no?, por 1, menos 4 por 9, 36, o sea, voy a poner aquí el 4 por 9, 36 menos 4 por 9 por 1, ¿no?, y nos va a quedar tanto como cero, ¿ok? Entonces uno puede decir, esta va a tener una raíz real doble, ¿ok? Esas son las cosas que hemos aprendido Vámonos con la segunda, ¿qué discriminante tiene esta? D igual a b cuadrada, que son 36, menos 4 por 9 por menos 1, o sea el signito de menos, ¿se fijan?, ¿qué va a alterar aquí?, ¿qué va a quedar? 36 más 36, o sea, un 72, ¿no?, positivo, ¿ok?, entonces ¿qué vamos a decir? Esta tiene dos soluciones reales distintas, ¿sí? Y este último, ¿qué tendríamos aquí para su discriminante? b cuadrada es 36, menos 4 por 9 por 2, ¿no?, y entonces nos va a quedar un 36 menos un 9 por 4 son 36 por 2, sería un 72, o sea nos va a quedar un menos 36, ¿cierto?, sí creo que sí salió bien la operación, ¿sí? 8, 72, sí, ok. Entonces ahorita diríamos esta tiene 2 soluciones complejas, imaginarias. Entonces, aún y cuando se ven tan iguales estas diferencias de aquí fueron determinantes para hacernos, digamos, clasificar a estas ecuaciones de una manera distinta, ¿no?, una ofrece una solución real repetida, la otra dos soluciones reales distintas y la otra dos soluciones complejas, ¿no?, o sea, no hay soluciones reales, ¿ok? Habiendo visto esto, a mí me gustaría que fuéramos a un software, ¿no? de estos que podemos utilizar con facilidad, estando aquí en la computadora, me gustaría que usáramos Graphmática que es algo que también ustedes han estado utilizando, ¿lo supongo?, ¿no?, está dentro de nuestros recursos, ¿no?, la información, para este software. Entonces, vamos a pedir en Graphmatica, aquí tengo you una ventana abierta que nos grafique las expresiones que vimos ahorita en el power point. Déjenme ver si me dejan manejarlo así en este power point, pero lo, la diferencia va a ser que en la expresión antes del igual a cero, yo voy a poner una y, a lo mejor vale la pena que lo haga aquí con la pluma, a ver déjenme hacerlo, si me permiten aquí vamos a tomar el color y un color negro ¿no?, vamos a ver si nos deja tomar el negro, o sea, en lugar de esto yo le voy a decir al graficador, y igual a 9 x cuadrada más 6 x más 1 y le voy a decir en lugar de este y igual a 9 x cuadrada más 6 x menos 1 y finalmente le digo para el tercero y igual a 9 x cuadrada más 6 x más 2 para que veamos el reflejo, la consecuencia de esto que nos pasó con el discriminante. Ahora entonces me estoy pasando a la parábola vertical, estamos con una función cuadrática cuya gráfica es una parábola vertical, vamos a verlas, esas parábolas con nuestro software, ¿sí? Entonces, ¿qué fue lo que hice ahorita? Bauticé a la ecuación cuadrática con un y igual y la convertí entonces en una función cuadrática, ¿no?, una función cuadrática, estas que están aquí son you funciones cuadráticas y su gráfica va a ser una parábola vertical. Entonces vámonos al graficador y ahora sí you le puedo hablar en su idioma, en el graficador le tendríamos que decir y igual, ¿se fijan?, sino, no nos va a dejar graficar nada. Entonces, vamos adelante, y igual, igual a qué era, 9 x y vamos a ponerle al cuadrado, 9 x al cuadrado, más 6 x y ¿qué seguiría después?, más 1, ¿no?, más 1 y vamos a ver qué es lo que nos grafica, y ahí tenemos, fíjense, esa es la que nos había dicho antes, que se trataba de una solución real repetida y vean la forma que tiene el gráfico, ¿ok? Bueno, aún y cuando no hayamos notado nada, ahora vamos a decirle, ¿qué fue lo que hicimos? Le pusimos un menos 1. Voy a aprovechar lo que you tenía escrito y zaz, vean ahorita lo que pasó cuando le dije que graficara apareció la gráfica en tono rojo, ¿no?, finalmente, aquí, vamos a decirle que en lugar de menos 1, ¿qué le pusimos? un más 2, ¿no?, más 2 y zaz, y la gráfica que nos ofreció es de tono verde, ¿no?, así fue, entonces, azul, rojo, verde. ¿Qué podemos notar de diferencias en estos gráficos? Pues, no sé si you lo habrán notado, pero la gráfica azul solamente toca en un punto el eje, la gráfica roja toca en dos puntos el eje y la gráfica verde no toca el eje, ¿ok? ¿Qué era lo que nosotros sabíamos acerca de las soluciones de esta ecuación? O sea, you habíamos visto acá, ¿no?, si me paso a Powerpoint, ¿no? ¿qué?, quería ponerlo así chiquito, que se viera acá con respecto a las gráficas, pero you habíamos visto nosotros de que había solución doble, dos soluciones reales distintas y soluciones complejas, ¿no?, y eso lo estamos viendo reflejado en, ¿qué?, en azul, rojo y verde, una solución que se repite, una solución doble, dos soluciones reales distintas, con la roja y dos soluciones con la verde, ¿no?, o sea, el hecho de que no corta el eje horizontal está dando evidencia de que las soluciones de esta ecuación cuadrática son números complejos, ¿no?, ¿ok?, entonces, ahora tenemos esa interpretación. Me gustaría tomar una imagen para no quedarnos sin esta evidencia, ¿no?, de lo que hemos you visto, ¿ok? ¿Qué es lo que vamos a apuntarle aquí? Le vamos a decir que cuando tenemos la, vamos a poner en negro, ¿no?, cuando tenemos esto que pasa aquí, o sea, un "toca" el eje, ¿se fijan?, o sea la curva venía bajando y luego toca el eje y luego se regresa. Toca el eje está haciendo evidencia de una raíz doble, ¿no?, en la ecuación cuadrática que se obtiene cuando igualo a cero la expresión, ¿ok? Luego, en el caso de la roja, podríamos señalarlo por acá, este lugar y este otro lugar me está diciendo 2 cortes con el eje x, con el eje x, estamos poniendo aquí el eje x ahorita, ¿no?, y entonces esto dijimos que nos da 2 raíces reales distintas, ¿sí? Y finalmente con la verde ¿qué es lo que nos está pasando?, para la verde, o sea, podríamos decir, aquí, no corta al eje x, no pasa, no pasa por el eje x, ¿no?, y eso nos está diciendo que tenemos el caso de 2 raíces complejas o imaginarias, ¿sí?, o sea, you no son, no son raíces reales, ¿ok? Y todo es bien interpretable, como lo hemos visto desde que empezamos, ¿no? con este estudio del movimiento, ¿se acuerdan?, que estábamos viendo las, cuándo llegaban a ciertas posiciones nuestro chico Tec. Bueno las respuestas tienen que ver con todo lo que estamos recordando aquí, ¿ok? Ahora me gustaría que viéramos algo que me va a servir para lo que haremos después, ¿no?, cuando usamos, este, graficador. Siempre he aprovechado la característica de este graficador para derivar, ¿se acuerdan?, o sea, aquí yo tengo una función y el graficador me ofrece un ícono aquí para derivar dice ahí: find derivative o en el menú de cálculos le puedo decir draw, no, perdón, find derivative, ¿sí?, y entonces es lo que vamos a hacer, o sea, vamos a hacerlo con, primero con la función primera que pusimos, que es la del 1, ¿verdad?, que era la azul, vamos a ver, si le decimos deriva, ahí está la derivada. Vean cómo la derivada es una recta que atravesó, ¿cierto?, y vean cómo esta recta, bueno, afortunadamente me quedó en azul, parece que sí está obedeciendo ahorita lo que, lo que le pedí al graficador y vean como cruza justamente por el lugar donde tocó el eje horizontal, ¿ok? Vamos a tomar ahora a la curva roja, la curva roja, según yo, es la que tiene, es la que tiene, ¿qué? Es la, las dos raíces, sí you me acordé, era esta, ¿no?, que tenía las dos raíces, ¿sí?, que tenía ese menos 1 y entonces vamos a decir derívala ¿no?, zaz, ¿qué pasó? Si se fijaron ustedes bien, o sea lo que pasó es que la recta azul se pintó de rojo. Es la misma, ¿no?, es la misma que la azul que teníamos con anterioridad. Si no estuviéramos viendo las dos imágenes ahorita. Noten cómo nuevamente cruza justo, justo donde tenemos aquí este lugar, que es lo que hemos llamado el mínimo, ¿ok?, en ese mínimo cruzó y de valores negativos a positivos, o sea, eso como que también nos está diciendo que el gráfico rojo decrecía y luego crece, ¿ok? Vamos finalmente a derivar con Graphmática, ¿no?, la última función que era la que tenía el 2, ¿ok? Entonces ahorita mismo voy a darle clic a derivar y vean qué pasó, ahora se nos pintó de tono verde la misma recta que you teníamos, o sea, en este, en este caso, para las expresiones que dimos, déjenme ver si las asomo aquí. Las expresiones que dimos, todas las que están acá, esta, esta y esta, ¿no?, si las derivamos todas nos dan la misma recta, ¿no?, la misma recta, la misma información y esa información está hablándonos, precisamente, del comportamiento de la parábola, ¿no? Estamos observando donde la, la derivada o la recta corta el eje cómo es, sigue siendo, la información importante para que uno pueda interpretar y decir que en ese lugar donde corta el eje horizontal la recta que es la derivada, vamos a tener el valor, en este caso, el valor mínimo, en esas gráficas, ¿no? Me gustaría que, dejarlos en este momento con esta imagen e invitarlos a que vayan a Graphma, no, perdón, no a Graphmática. Hay un software que ahora está en la red y que es fantástico también que nos ayuda a aprender matemáticas, que es justamente WolframAlpha. Ustedes pueden acceder al WolframAlpha, ¿no?, con la dirección wolframalpha nada más, ¿ok?, y entonces yo estaba ahorita viendo que con WolframAlpha podíamos jugar, ahorita no es lo de la derivada, para eso es Graphmática, pero vean cómo aquí yo le dije resuelve esta ecuación, solve esta ecuación y entonces nos da la imagen de acá abajo, o sea si le podemos, le ponemos ahorita aquí un, detrás, un 9, como teníamos, ¿no?, luego ¿era un más 6 x o era un menos 6 x?, era un más. Vamos a ponerle un más 6 x y un, después un más 1, ¿no?, le doy enter y vean ustedes, ahí está trabajando y nos está dando las soluciones, vean que nos dio un resultado nada más que se trata precisamente de la solución real, que es doble, que you habíamos nosotros pensado y vean cómo el gráfico está aquí y cómo toca solamente el eje justamente en la solución doble, ahí nos los da aproximados, ¿sí vieron?, donde me acerqué en el cursor, ¿ok? Si aquí en lugar del más 1 le ponemos un menos así tan rápido como meter un signo de menos, ¿dónde está el menos?, aquí está. Vamos a ponerlo, ¿ok?, y entonces ahora ¿qué va a pasar?, vamos a tener que las soluciones nos las dio aproximadas, miren qué bien que nos dijo es aproximadamente igual. Son números irracionales en esta ocasión y vean en la gráfica que ahí están esos dos valores, uno negativo y otro positivo, ¿ok? Finalmente, si le decimos un más 2, aquí, un más 2, estoy utilizando WolframAlpha ahorita, ¿para qué? Para que ustedes practiquen en cuanto a la solución de ecuaciones cuadráticas y que observen cómo las soluciones son reales o imaginarias y vean ustedes el gráfico que nos dio. you nos está dando aquí otra cosa que no vamos a poder interpretar en el plano, digamos, real, ¿no?, pero aquí se nota que tenemos las raíces imaginarias. Yo hubiera querido que aquí me graficara la parábola donde no iba a cortar, pero bueno, les digo, en esto también, o sea, es bueno que usemos el software para que también nuestra mente, ¿no?, se acostumbre a hacer las interprete, las interpretaciones adecuadas. Me voy a WolframAlpha y no tengo la imagen de la parábola que no corta, me vengo acá a Graphmática y esta parábola verde que no corta el eje me está diciendo que las raíces son imaginarias, ¿no? Yo con esto los voy a dejar ahora. Los invito a que también, o sea, accedan a la página de WolframAlpha y que practiquen en este sentido con sus ecuaciones cuadráticas y sus soluciones y que, a la vez, o sea, you si no han trabajado o jugado con Graphmática, lo hagan ahora para que podamos utilizarlo en lo que sigue, ¿no?, en nuestra siguiente sesión. Los espero entonces.
