Сегодня мы обсудим немного новый, в нашем контексте немного новый взгляд на функции комплексного переменного, а именно, мы будем рассматривать интерпретацию функции комплексного переменного в качестве их действия на точки двумерной плоскости. Геометрическая интерпретация комплексного числа сама по себе достаточно очевидна, то есть рассмотрим комплексную плоскость переменной z и одну заданную в ней точку, скажем, z0 с двумя координатами, первая из которых, это абсцисса, является действительной частью z0, и ордината является мнимой частью z0. Таким образом представим комплексное число z0 как пару двух действительных чисел. Тогда любую функцию комплексной переменной z0, f(z0), отображающую комплексную плоскость z в комплексную плоскость ω, можно рассматривать как функцию, которая действует на пару действительных чисел, превращая их в другую пару действительных чисел. Если мы точно таким же образом введем действительную и мнимую часть образа точки z0, то мы получим преобразование, которое можно интерпретировать геометрически, и оно действует между плоскостями комплексных переменных z и ω, переводя каждую точку первой плоскости в какую-то точку второй плоскости. Само по себе это утверждение почти тривиально, однако сейчас мы увидим, как особые свойства аналитичности, которые мы вправе наложить на функцию f(z), приобретают важную роль в контексте геометрической интерпретации такого преобразования. И для того чтобы дать какую-то мотивацию для дальнейшего, рассмотрим, какими свойствами преобразований из двумерного вектора в двумерный вектор действительных чисел мы в принципе могли бы интересоваться. Главное, одно из основных свойств таких преобразований, в данном случае это преобразование вектора (x, y) в вектор (u, v), является понятие локальной обратимости. Как вы знаете из теории функций действительной переменной, обратимость преобразования векторов тесно связана со свойствами определителя, построенного на частных производных, а именно, рассмотрим функции u(x, y) и v(x, y) и вычислим якобиан, построенный на частных производных. [ЗВУК] И известная теорема из действительного анализа утверждает, что такое преобразование обратимо тогда и только тогда, локально, по крайней мере, обратимо тогда и только тогда, когда этот якобиан не зануляется. Давайте выясним, какие свойства на этот якобиан налагает свойство аналитичности функции f(z). Заметим, что в нашем контексте преобразование из (x, y) в (u, v), вообще говоря, не является произвольным, потому что, начиная с этого момента, мы будем считать, что это преобразование наведено некой функцией f(z). Действительно, вспомним, что x и y — это действительная и мнимая части комплексной переменной z, u и v — это действительная и мнимая части комплексной переменной ω, и функция f в точке z равна ω. Таким образом, условие аналитичности функции f(z) в точке z налагает достаточно сильные ограничения на характер преобразования из (x, y) в (u, v). В частности, первое из этих важных ограничений связано, конечно, с условиями Коши-Римана. И давайте посмотрим, как может упроститься якобиан, если учесть эти условия Коши-Римана. Во-первых, вычислим этот якобиан, это просто определитель матрицы, то есть (∂u / ∂x), (∂v / ∂y). Теперь можно вспомнить условия Коши-Римана, которые в данном случае позволяют переписать это выражение следующим образом. [ЗВУК] Таким образом, уже видно, что если производная функции f(z) в точке, вблизи которой мы рассматриваем наши преобразования, не равна нулю, то и якобиан является положительным. Таким образом, если потребовать, чтобы функция f(z) была аналитической и ее производная в точке z была не равна нулю, то модуль якобиана оказывается положительной величиной, и преобразование, геометрическое преобразование наведенной функции f(z) является по крайней мере локально обратимым. Оказывается, что у такого рода преобразований есть еще одно свойство, а именно их конформность. Конформность определятся, в принципе, конформность определяется как сохранение углов в процессе преобразования f(z). Так как, вообще говоря, преобразование f(z) не является линейным, поэтому понятие угла нужно определить дополнительно. То есть это преобразование не является линейным преобразованием, действующим на вектора, оно преобразует точки. И для того чтобы определить угол, удобно ввести, еще раз вернуться к комплексной плоскости переменной z и нарисовать в ней две кривые, пересекающиеся в определенной точке a. Назовем эти кривые c1 и c2. Углом между кривыми c1 и c2 в точке a назовем угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения. И этот угол есть, конечно, просто разность между углами, которые касательные образуют с осью x. То есть можно написать, что θ = θ2 − − θ1, где θ2 и θ1 — это угол наклонения касательной к оси абсцисс. При преобразовании f(z) кривые c1 и c2, вообще говоря, во-первых, точка пересечения превращается из точки a в точку b, которая определена уже в комплексной плоскости переменной ω. И кроме этого, конечно, преобразуются кривые, они преобразуются в c1' и c2'. И, вообще говоря, каждая из касательных приобретает в процессе такого преобразования некоторое вращение, так, что они образуют углы θ1' и θ2'. И угол между касательными в преобразованной плоскости обозначим θ', это есть θ2' − θ1'. Легко показать, пользуясь тем, что производная комплексной функции f(z) в точках a, в точке a существует, легко показать, что таким образом определенный угол θ, который есть θ2 − θ1, оказывается просто равен углу θ2' − θ1'. Это свойство, это свойство преобразования, задаваемого аналитической функцией, и называется конформностью. Существует одно еще более важное свойство, которое, на самом деле, следует из того, что мы уже обсудили, которое позволяет решать ряд важных задач математической физики. И это свойство проще всего осознать в контексте решений уравнений с лапласианом, и к рассмотрению такого типа уравнений мы сейчас и перейдем. [ЗВУК]
