[МУЗЫКА] Итак, мы с вами обсудили асимптотические методы на действительной оси, и теперь, поскольку всё-таки у нас курс посвящен комплексному анализу, самое время выйти в комплексной плоскости и обсудить, какие асимптотические методы работают в ней и как стандартные методы преобразуются, преображаются уже при выходе в комплексную плоскость. И наша сегодняшняя лекция будет посвящена методу перевала, наиболее такому эффектному методу нахождения асимптотик. Ну что же, и давайте приступим. И, наверное, педагогически было бы правильно обсудить аналог метода перевала на действительной оси. Я уверен, что большая часть из вас с ним уже, конечно, знакома, это метод Лапласа, но всё же давайте быстро его вспомним. Итак, речь пойдёт о такого рода интеграле, [БЕЗ_ЗВУКА] где функция f(x) имеет экстремум — максимум — на отрезке ab. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] И мы ставим себе цель, как обычно, построить асимптотику этого интеграла. Для начала — первый член в асимптотическом разложении при λ > 0 и много больше единицы. Ну что ж, вы уже познакомились с оценками вот таких интегралов, когда функция f(x) монотонная на отрезке, но теперь она имеет экстремум, и мы уже с вами понимаем, что, конечно же, лидирующий вклад в этот интеграл — он придёт не с краёв участка интегрирования, как это было ранее, а с окрестностей этой нашей экстремальной точки. Ну и действительно, если у нас функция f(x) имеет максимум, то есть, условно говоря, у неё такое вот поведение, то присутствие вот этого большого фактора в экспоненте радикально меняет поведение подынтегрального выражения при больших λ. А именно, если у нас это f(x), то давайте разложим её в ряд Тейлора вблизи точки x0. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] Здесь нет второго члена разложения с первой производной, поскольку это у нас экстремум, поэтому мы оборвали разложение на втором члене разложения и пока что пренебрежём высшими порядками ряда Тейлора. И что получается? Получается, что у нас экспонента наша выглядит следующим образом. [БЕЗ_ЗВУКА] [БЕЗ_ЗВУКА] И мы видим, что уже... Значит, смотрите: f'' — это просто какое-то отрицательное число конечное, λ — это как раз большая величина. И получается, что у нас достаточно отступить на величину порядка 1 / √ λ от точки экстремума, когда у нас уже вот эта добавочка к функции λ f(x0), она станет порядка единицы. То есть, иными словами, значение экспоненциальной функции упадёт в e раз. Это означает, что уже на таком интервале — 1 / √ λ, то есть это узкая окрестность нашего экстремума, — экспоненциальная функция будет уже подавляться. То есть она будет вести себя вот так вот... То есть это будет очень узкий пик. Если это f(x), то вот это у нас будет e в степени λ f(x). Давайте я выделю её другим цветом. Здесь у нас вот эта узкая область — это порядка 1 / √λ. Ну здесь давайте подпишем. И, конечно же, отсюда мы прекрасно понимаем, что интеграл будет определяться узкой окрестностью точки х0, и по этой причине можно все функции, которые у нас участвуют в этом интеграле разложить без точки х0. Ну, например, функция g(x). Она в любом случае не содержит λ, она будет гладкой по сравнению с функцией e в степени λ f(x), то есть g(x) будет какая-то вот такая. И когда мы считаем интеграл, он будет набираться только вот в этой области. [БЕЗ_ЗВУКА] Конечно же, в качестве g(x) достаточно взять её значение в точке x0. [БЕЗ_ЗВУКА] И, таким образом, интеграл просто сводится практически к гауссовому. Единственное, тут есть момент: у нас всё-таки отрезок интегрирования конечный, и для того чтобы интеграл стал гауссовым, необходимо отрезок интегрирования заменить бесконечным интервалом интегрирования. Ну, как мы с вами понимаем, мы просто пренебрегаем экспоненциально маленькими кусочками — сейчас я к этому вернусь. Ещё чуть-чуть поясню. Давайте однако ж запишем преобразованный интеграл. Итак, I (λ) теперь, естественно, равняется e в степени λ f(x0) на * g(x0). Итак, сейчас ещё удержим конечные пределы. И давайте, коль скоро мы с вами понимаем, что f"(x0) отрицателен, прямо сразу так его и запишем: −λ/2 модуль |f"(х0)| (x − x0) ². Ну и действительно, поскольку интеграл определяется узкой окрестностью, мы нижний предел заменяем минус бесконечностью, а верхний плюс бесконечностью, и, действительно, перед нами уже полноценный гауссов интеграл, и его значение нам, конечно же, хорошо известно. Давайте я его отдельно здесь выпишу. Так, здесь я забыл закрыть модуль. А, нет, он здесь и не нужен. И этот интеграл равен просто √ 2π / λ |f"(x0)| по модулям. Ну, и в этом и состоит суть метода Лапласа. То есть вот мы получили полную асимптотическую оценку нашего интеграла на действительной оси, и, конечно же, логика здесь состояла именно в разложении ряда Тейлора для второго порядка экспоненциальной функции f(x). Вот это главный член, главная экспонента собственно, и называется так — а всё остальное называется предэкспонентой. [БЕЗ_ЗВУКА] Теперь, мы выкинули вот эти экспоненциальные хвосты. Насколько они существенны? Ну, поскольку вот эти интегралы от минус бесконечности до a и от b до плюс бесконечности не содержат в простейшем случае никаких максимум функции f(x) по умолчанию, то они могут быть оценены с помощью обычной техники интегрирования по частям, с которой вы уже знакомы. И, конечно же, эти вклады будут типа e в степени λ f(a), а здесь будет вклад доминироваться экспонент e в степени λ f(b) — и они будут много меньше, чем главный вклад, они будут просто экспоненциально подавлены по сравнению с этим главным вкладом. Ну, в этом и состоит, собственно, суть метода Лапласа. Разумеется, можно его обобщить — это лишь первый член асимптотического разложения — значит, можно построить целый асимптотический ряд, но для наших целей это, наверное, не очень существенно. Наша главная задача, которую мы хотим решить, это рассмотреть, как обобщается этот метод на случай контурных интегралов в комплексной плоскости. [ЗВУК]
