Сегодня мы рассмотрим функцию "Эйри", которая является частным решением одного из линейных уравнений 2 порядка и в связи с ее большой ролью в физике, в различных разделах физики включая в основном в разные новые аспекты связанные с оптикой или с квантовой механикой. Мы обсудим ее достаточно подробно и в особенности, нас будет интересовать ее асимптотические свойства в разных секторах комплексной плоскости и связанные с этим явления Стокса. Давайте начнем с того, что напишем уравнение, которому удовлетворяет функция "Эйри". Удобно рассматривать, ее исхода на действительной оси, тогда уже по виду этого уравнения можно сделать ряд заключения о ее потенциальных свойствах. В частности, видно, что это уравнение является простейшим обобщением, стандартного уравнения волновой физики, а именно, что можно написать 2 уравнения с постоянными коэффициентами. И в зависимости от знака коэффициента перед "у" в этом уравнении, у него решения могут быть существенно разных типов, а именно ясно, что, если знак перед "у" положительный, то решение этого уравнения, это затухающая растущая экспонента. Если коэффициенты перед "у" отрицательный, если знак в такой записи, если знак коэффициента плюс, то решениями будут осциллирующая функция "sin" или "cos" с соответствующей частотой. Видно, что если решать уравнение, в котором коэффициент перед "у" зависит от координаты и, что самое важное меняет знак, то можно ожидать, что это уравнение будет простейшим уравнением, в котором свойства решения меняются с экспоненциальных (в данном случае при положительных "х"), на решение от осцилляционного типа при отрицательных "х". Это пока первое качественное соображение, которые указывают на то, что решение этого уравнения могут обладать довольно интересными свойствами. А именно в отличие от решения уравнений с постоянными коэффициентами их решения будут менять характер, уже на действительной оси и превращаться с осцилляционных в затухающие или растущие. Естественно, у такого уравнения есть 2 линейно независимых решения. Если пока не думать о нормировке, то решение, которое отвечает функции "y" от "х" затухающий при "х" стремящимся в плюс бесконечность. Ровно одно это есть функция "Эйри". То есть график функции нужно представлять себе следующим образом. При больших положительных "х" оно затухает, что соответствует нашей интуиции при отрицательных "х" оно осциллирует и эти осцилляции имеют медленно убывающая характер. Таким образом, это качественный вид, того частного решения, которое нас сегодня будет интересовать. Ясно, что есть еще одно линейно независимое решение, но мы пока о нем не будем говорить. Данное частное решение имеет наибольшее значение в физике, именно благодаря тому, что способно описывать 2 разных режима с помощью одного и того же уравнения. Давайте, для того чтобы, во-первых, зафиксировать нормировку этой функции и, для того чтобы построить для нее какое-то представление! Попробуем решить это уравнение следующим образом. Вы наверное уже отчасти знакомы или еще познакомитесь с методом решения уравнений с линейными коэффициентами в виде контурных интегралов. Пока я запишу просто ответ, и мы проверим, что он, действительно, удовлетворяет этому уравнение. Давайте пока напишем решение в таком несколько формальном виде, представив его в виде интеграла оп контуру "С", от аналитической функции комплексной переменной "t", параметризуемой "х". Таким образом, в принципе данное выражение после того, как мы зафиксируем контур, даст нам некоторую аналитическую функцию переменной "х" во всей комплексной плоскости, если, конечно, интеграл по контуру "С" сходится. И заметьте, что написав эту формулу мы уже зафиксировали асимптотику функции "Эйри". Давайте сделаем 2 вещи! Во-первых, проверим, что так определенное решение, действительно, удовлетворяет уравнению. Для этого нужно в первую очередь, чтобы оно было определено, а для того чтобы оно было определено, нужно чтобы интеграл по контуру "С" сходился, а для этого нарисуем комплексную плоскость, для того чтобы выяснить условия такой сходимости, нарисуем комплексную плоскость переменной "t". И, очевидно, что условие сходимости интеграла не зависит от "х", то есть контур можно выбрать одним и тем же при всех "х", включая комплексные "х", что нам в дальнейшем понадобится. И условие сходимости состоит в том, чтобы действительная часть "t" в кубе на концах контура, была отрицательным. И, действительно, если контур "С" уходит в бесконечность и действительная часть "t" в кубе отрицательна, ясно что интеграл будет сходиться, так, как сходимость будет гарантирована экспоненциально затухающим вкладом в экспоненте. Для того чтобы выяснить, где именно в комплексной плоскости контур "C" может уходить на бесконечность, напишем, что "t" есть "T", которое есть его модуль на "е" в степени "i" на "φ", который есть его фаза. Тогда условие, действительная часть "t" в кубе меньше 0, превратится в условие действительная часть "t" в кубе меньше 0, превратится в условие "cos", "3φ" меньше 0. Для того, чтобы выяснить, где "cos" отрицателен, проще всего нарисовать график функции "cos", "3φ". "cos", "3φ", как функция "φ". При "φ" равны 0 это 1. Он впервые обращается в 0, то есть впервые "cos" обращается в 0, когда "3φ" становится равным "π" пополам. То есть, "φ" есть "π" на 6. Следующая такая точка это "φ", "π" на 6. Следующая такая точка определяется условием "3φ" ровное "3π" пополам. То есть, "φ" равно "π" пополам. То есть мы уже можем, исходя из этого (да, это какая-то функция) нас будет интересовать от 0 до "2π". Мы уже можем начинать расставлять знаки. Очевидно, что в этой области "cos" положительный, а дальше есть область где он отрицательным и дальше знаки будут чередоваться. Естественно, в общем виде, нам следует написать "3φ" равно "π" пополам, плюс "πn" и "φ" равно "π" на 6 плюс "πn" на 3. Итак, так как знаки чередуются мы можем легко изобразить в комплексной плоскости переменной "t" области, в которых контур может, действительно, уходить на плюс бесконечность. Первая область отвечает знаку минус между "π" на 6 и "π" пополам. И дальше можно легко выяснить, что другие разрешенные области имеют следующий вид. Итак, в принципе мы можем провести контур "С" разным образом. И оказывается, что решение, естественно, при разном выборе контура "С" мы будем получать разные решения. И выбор, который нас будет интересовать, определяется следующим образом. То есть контур "С" уходит на бесконечность в разрешенных секторах (назовем их 1, 2 и 3), контур "С" отвечающий выбору нужного нам частного решения, отвечает тому, что контур уходит на бесконечность разрешенных секторах 1 и 3. Давайте, перед тем, как продолжать нам все-таки нужно убедиться, что эта функция, действительно, является решением уравнения "Эйри". И для этого нужно подставить написанный контур интеграл в само уравнение. Давайте вычислим 2 производную по "х", вычесть "х". Действия этого оператора на интеграл по контуру "е" в степени "t" в кубе на 3 минус "хt" по "dt". Теперь, мы уже знаем, по крайней мере, как нужно выбрать контур так, чтобы эта функция была определена. Поэтому, можно совершать такие формальные манипуляции. Они сводятся к следующему. Интеграл превращается в интеграл по контуру по "dt" от выражения 2 производная по "х", а в данном случае дает просто "t" квадрат минус "x", от "е" в степени "е" куб на 3 минус "xt". Заметим, что получающееся здесь выражение является вместе с дифференциалом, является дифференциалом от "t" в кубе на 3 минус "х". И, таким образом, все это выражение может быть переписано, как интеграл по контуру от полного дифференциала. "е" в степени "t" куб на 3 минус "xt". И теперь, конечно, если контур выбран так, что подынтегральное выражение зануляется на концах этого контура, то мы действительно видим, что оператор стоящий в левой части уравнения, действие на функцию зануляет результат. Это выражение превращается в 0. Хорошо, таким образом, нам удалось построить какое-то частное решение уравнения "Эйри", которое пока мы задали выборам контуру, как указано на рисунке. Пока еще мы не знаем точно, что это, то частное решение, которое отвечает качественной картине изображенной здесь. Давайте проверим это! Для этого нам придется вычислить асимптотику написанного здесь выражения, для больших положительных "х", больших отрицательных "х", и сравнить характер поведения. Приступим!
