Переходим к следующей специальной задаче динамики, а именно к движению точки в центральном поле. Ну мы будем обобщать эту задачу на, там скажем, задачу двух тел и даже немножко, наверное, поговорим про задачу n тел, ну в каких-то ограниченных постановках. Но тем не менее начнем мы с движения точки в центральном поле и заодно поговорим об элементах небесной механики. Ну к делу, в общем. Итак, движение точки в центральном поле или давайте уж динамика точки в центральном поле. Происходит у нас вот что. Есть в неподвижном пространстве некоторый неподвижный же центр, O назовем его, рассматривается движение некоторой материальной точки M и мы будем говорить, что точка находится в центральном поле, если… Или будем говорить, что на точку действует центральная сила. Центральная сила. Если эта сила все время коллинеарна вектору OM. Ну то есть радиус-вектору точки M, проведенному из неподвижного центра. Сила может быть притягивающей или отталкивающей, неважно. Если она коллинеарна вектору OM все время, во все время движения точки, все поле центральное. Что мы тут можем сразу заметить? Мы можем заметить, что момент этой силы относительно точки O = 0. Плечо сонаправлено с силой, векторное произведение 0. Из этого сразу следует, что сохраняется вектор момента импульса. А из этого сразу следует, что все движение происходит в некоторой плоскости, то есть, есть начальный радиус-вектор, есть начальная скорость и они образуют, если они не коллинеарны, они образуют некоторую плоскость, в которой и происходит все дальнейшее движение. Этой плоскости должен быть ортогонален вектор K, как в начальный момент, так и потом, поэтому точка из этой плоскости не выходит. Итак, все движение происходит в плоскости α и вектор K этой плоскости ортогонален. Ну, естественно, ввести систему координат такую, что ее ось z перпендикулярна α, ну то есть сонаправлена с вектором K, и дальше, раз движение плоское, то можно вообще ввести в этой плоскости полярные координаты [БЕЗ СЛОВ] на плоскости α. Полярные координаты, естественно, будут r и φ. r и φ. Центр полярных координат, или начало, будет, естественно, в неподвижном полюсе O. И вот в этих координатах мы сейчас можем взять да написать хотя бы второй закон Ньютона для этой точки. Ну то есть масса на ускорение точки M равняется этой самой центральной силе. Этот второй закон Ньютона мы возьмем и спроецируем на базисные направления полярной системы координат. Если помните, в кинематике мы когда-то писали формулы для проекций ускорения на криволинейные координаты. Вот ими мы сейчас и воспользуемся. Причем мы даже считали для полярных координат, какие проекции ускорения будут. Поэтому я позволю себе их просто выписать. Итак, для направления r мы получаем: m * (r с двумя точками − rφ с точкой²), такое у нас было радиальное ускорение, = … Как сила проецируется на r? Ну она вся по r направлена, поэтому, собственно, вся сила F здесь и будет. И по φ: m *… А тут я позволю себе выписать не окончательный результат, который мы когда-то получали, а некоторый промежуточный. d по dt (r²φ с точкой) = 0. Вся сила уже спроецировалась на направление r, здесь ничего не будет, то есть 0. И отсюда, из второго уравнения, мы, смотрите, сразу получаем первый интеграл этой системы дифференциальных уравнений. Вот отсюда пишем, r²φ с точкой = c = const. Ровно из этого соотношения мы с вами чуть позже получим один из законов Кеплера — закон сохранения секториальной скорости. Если вы знаете, что такое секториальная скорость, легко догадаться, что это она и есть. Иногда вот этот интеграл пишут по-другому, в векторном виде. Смотрите, что здесь происходит. r * rφ с точкой, ну то есть можно сказать, что это векторное произведение радиус-вектора и скорости. И такое произведение принято обозначать тоже c, но вектором — это постоянный вектор. [БЕЗ СЛОВ] И если еще немножко поиграть в определения, вы понимаете, что r * v — это практически сохранение момента импульса, то есть ничего нового. Но поскольку масса здесь отсутствует, то иногда этот интеграл называют приведенным моментом импульса, то есть K / m. Ну в общем поговорили про интегралы, идем дальше. Дальше смотрите, что мы можем сделать: φ с точкой вот из этого интеграла выражается через cr² и подставляется в первое уравнение. И тогда мы получаем r с двумя точками − вместо φ с точкой — c / r². Итого, c / r³ = F / m. Если у нас сила выражается только через радиус, если сила у нас зависит от r и только от r, ну может быть еще от времени, то получается дифференциальное уравнение на r, а с дифференциальными уравнениями все понятно — они либо решаются, либо нет. Ну либо мы их решаем аналитически, либо пытаемся решать численно, все зависит от того, какая тут правая часть. Вот. В любом случае из этого уравнения, вероятно, получается закон движения по r, r (t). И дальше мы этот r (t) подставляем в первый интеграл, где у нас φ, потом подставляем в φ с точкой = c / r (t)². И получаем φ (t). Тем самым определяется закон движения, то есть задача решена. Все прекрасно. Получили r (t) и φ (t). Вот опять же, если у нас удачная правая часть, то все получается аналитически. Если нет, ну в квадратурах или хотя бы численно. А теперь еще вот о чем нужно поговорить. Очень часто в этих уравнениях, во втором законе Ньютона, фактически принято делать следующую замену — замена Бине она называется. Вводится переменная U = 1 / r. Это делается для того, чтобы исключить из этих уравнений время. Это делается для того, чтобы получить ответ в виде r (φ), ответ на вопрос, как у нас движется точка. r (φ) — это траектория, траектория точки в полярных координатах, то есть иногда нас интересует, где точка окажется в какой конкретный момент, иногда нас интересует не это, а по линии какой формы движется точка. Вот там может быть это эллипс, может быть это какая-то другая кривая второго порядка, может быть это вообще не кривая второго порядка. Ну то есть, если нас интересует траектория, мы из дифференциального уравнения исключаем время и получаем зависимость r (φ). Происходит это следующим образом. Ну давайте выпишу я еще раз этот диффур, r с двумя точками − rφ с точкой² = F/ m или r с двумя точками − c² / r³ = F (r) / m. Здесь понятно, что делать. Ну просто подставляется вместо r³ — U и получается какое-то разумное выражение. Теперь, что делать с r с двумя точками? Ну давайте дифференцировать. r с точкой… r, простите, это не вектор. r с точкой, это у нас d по dt. dr по dt или d (1 / на U по dφ * φ с точкой. Эту производную мы вычисляем, получаем −1 / U² U'φ, φ с точкой мы подставляем из первого интеграла, который у нас есть, это у нас C * U². Итого получается: −C * U'φ. Берем вторую производную, r с двумя точками. Это у нас d (−CU'φ) по dφ * dφ по dt. То есть φ с точкой. Получаем −CU''φ φ точкой подставляем, получаем C * U², итого r с двумя точками, это − C²U²U''φ. Итого, в этом уравнении у нас получается вот что. U''φ + U = − («минус» мы перенесли в правую часть), дальше у нас было F (r), сюда вместо r я тоже подставляю U, получаю, вообще говоря, какую-то другую функцию от U / mC²U². Вот эта формула обычно называется уравнение Бине. Или в некоторых книжках — вторая формула Бине. Из нее, как видно, если мы решаем дифференциальные уравнения, мы можем получить U(φ). Решили, получили U(φ). Получили U(φ), получили, значит, и r(φ). Ну если есть вторая формула Бине, которая у нас связывает как дифференциальные уравнения U и φ, то есть и первая формула Бине, она мне понадобится через некоторое время, поэтому я ее тоже выпишу. Значит, первая формула Бине, она такая. Значит, квадрат скорости в полярных координатах — это у нас r с точкой² + rφ с точкой². Дальше происходит с этим следующее. Мы говорим... Ну =... вместо φ с точкой подставляем из первого интеграла, который мы написали, C / r², и получаем r с точкой² + (C / r)². Теперь с r с точкой что мы будем делать? Это у нас (d по dφ от r * dφ по dt)² + (C / r)². φ с точкой опять же здесь — это C / r². Итого получаем, вынося C² за скобки, ([d по dφ (1 / r)]² + [(1 / r)]²). Вместо 1 / r иногда подставляют U опять же, чтобы формула Бине была после замены Бине выражена через U. V² = C² ((dU по dφ)² + U²) и вот такие скобки. Первая формула Бине. Ну а теперь к практическим занятиям.
