На примере следующей задачи давайте познакомимся с таким понятием, как первый интеграл. Что такое первые интегралы? Это функции, которые сохраняют свое значение на траектории системы. Зачем они вам могут понадобиться? Вы можете вместо того, чтобы решать какие-то сложные дифференциальные уравнения, воспользоваться первыми интегралами, решить из них систему алгебраических уравнений и найти ответ наиболее простым образом. Давайте найдем первые интегралы для следующей задачи: есть твердое тело с неподвижной точкой, которое движется под влиянием следующего момента. Момент вычисляется по формуле: a умножить векторно на угловую скорость твердого тела, где a — это постоянный в твердом теле вектор, то есть он неподвижен. Необходимо найти два первых интеграла для движения тела. Давайте найдем первый первый интеграл. Для этого воспользуемся уравнениями Эйлера, точнее теоремой об изменении момента импульса относительно точки o. Вы знаете, что в системе, связанной с телом, этот момент можно выписать как изменение самого вектора в подвижной системе отсчета, связанной с твердым телом, плюс произведение угловой скорости на момент, то есть как вектор переносится в пространстве. И изменение момента импульса относительно неподвижной точки происходит за счет момента, приложенного к нашему телу. По условию он равен a умножить на ω векторный. Давайте перенесем a на ω в левую часть, и останется следующее: производная от k0 по dt локальное плюс угловая скорость умножить векторно на вектор k0 плюс a. И это равно 0. По условию сказано, что вектор a не меняется в системе отсчета, связанной с телом. Это означает, что его локальная производная da по dt равна 0. Поэтому, если мы добавим в первое слагаемое вектор a, то ничего в уравнении не изменится, и уравнение приобретет следующий вид: локальная производная k0 плюс a по dt плюс векторное произведение угловой скорости на k0 плюс a равно 0. Давайте свернем это обратно в полную производную по времени. Локальная производная плюс изменение вектора как раз равно полной производной от k0 плюс a по времени. [БЕЗ_ЗВУКА] Что мы получили? Что производная от некоторого вектора по времени равна 0 в силу движения системы. Это означает, что k0 плюс a является первым интегралом для системы. Теперь давайте найдем следующий первый интеграл. Для этого вспомним теорему об изменении кинетической энергии, которая говорит, что изменение кинетической энергии происходит за счет работы всех сил в системе. Кроме того, работу всех сил в системе можно выписать следующим образом: это скалярное произведение главного вектора системы на скорость в какой-то точке на dt плюс произведение главного момента в системе относительно этой же точки o умножить на угловую скорость твердого тела и умножить на dt. Что в нашей задаче нам известно? У нас есть неподвижная точка, поэтому в качестве полюса, в качестве точки o, хорошо выбирать ее. Поэтому первое слагаемое 0. Дальше, второе слагаемое: вспомним, что момент внешних сил в нашей задаче — это a умножить векторно на ω. То есть момент перпендикулярен ω — вектору угловой скорости. а значит, что скалярное произведение это тоже равно 0. Что мы получили? Что работа равна 0, а значит, кинетическая энергия — это следующий первый интеграл для нашей задачи. Таким образом, мы для задачи, для движения твердого тела с неподвижной точкой при определенных условиях при заданном моменте нашли два первых интеграла. Это момент импульса плюс некий константный вектор и кинетическая энергия. Спасибо, задача решена.
