Добрый день, давайте продолжим заниматься нашей комбинаторной деятельностью. Мы в прошлый раз уже достаточно много интересных объектов изучили. Давайте я напомню, что мы сделали в прошлый раз, чтобы как-то прилинковать это что-ли к нынешней лекции. А дальше мы спокойно займемся новыми задачами. Итак, у нас были размещения и сочетания. Размещения и сочетания, причем они были как с повторениями, так и без. Значит, бывают разного типа размещения, разного типа сочетания. Для них мы вводили некоторые обозначения, которые соответствующим образом читались. Вот скажем, A из n по k, Это были то, что называется k-размещения, k-размещения из n объектов без повторений. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] И для этой величины, для этой комбинаторной характеристики для k-размещений из n объектов без повторений, мы нашли формулу, доказали ее с помощью правила умножения. У нас получилось наверное как-то вот так: n (n- 1), ...., (n- k + 1) ну и я еще это переписал с помощью факториалов в виде n! поделить на (n- k)! Вот такая вот стандартная формула для числа k-размещений с повторениями из n объектов. Вот, ну дальше в прошлый раз мы успели разобраться с величиной А из n по k с чертой. Это то, что называется k-размещения с повторениями, опять же из n объектов. Ну давайте уж напишу, чтоб была полная картина, k-размещения с повторениями из n объектов. [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну вот то есть в той последовательности объектов, которую мы рассматриваем, могут повторяться объекты, получаются такие слова содержательные, я говорил там про лягушек, про гуляшек — все это было. Вот для A из n по k с чертой, также с помощью правила умножения, мы доказали формулу n в степени k — она совсем простая. Настолько простая, что она проще, чем своё обозначение, то есть A из n по k с чертой дольше писать, чем реальное значение этой величины. Вот, а дальше у нас были еще две комбинаторные величины, давайте вот здесь напишем C из n по k и C из n по k с чертой. Совершенно, так сказать, по аналогии обозначенные, только теперь у нас не A, а C. И разница состоит в том, что теперь мы рассматриваем не размещение, то есть нас не интересует порядок объектов в той последовательности, которую мы извлекаем, а на сей раз мы рассматриваем просто горстку, кучку объектов. И соответственно, эту кучку объектов, называем сочетанием. В данном случае, как не трудно догадаться, речь идет о сочетаниях, естественно k-сочетаниях, давайте я уж для полного единообразия добавлю букву k здесь, k-сочетаниях из n объектов без повторения, черты сверху нет, значит повторений тоже не бывает. Ну и наконец, C из n по k с чертой — это k-сочетания с повторениями, k-сочетания из тех же самых n объектов, но с возможностью повторений. Вот сейчас мне хочется вывести какие-то формулы для подсчета этих величин. Это абсолютно классические величины, которые всюду возникают, мы дальше увидим разные приложения этих величин, разные интересные их свойства, но для того чтобы говорить содержательно о свойствах и о приложениях, нужно конечно доказать какие-нибудь формулы.