[БЕЗ_ЗВУКА] В этом видео мы узнаем, что такое частные производные и градиент. Мы уже познакомились с понятием производной для функции одной переменной. И мы уже знаем геометрический смысл производной для функции одной переменной. Это просто угловой коэффициент касательной. Однако в жизни чаще встречаются функции многих переменных. Но как ввести производную хотя бы для функции двух переменных? Самая простая мысль — это зафиксировать какое-то значение одной переменной и продифференцировать по другой. Ну, например, зафиксируем y, продифференцируем по x, получим производную f'x. Зафиксируем x, продифференцируем по y и получим производную f'y. Такие производные называются частными производными, и, наверное, интересно разобраться, каков их геометрический смысл. Если в случае функции одной переменной мы приближали график функции касательной, то в случае функции двух переменных, мы приближаем график целой касательной плоскостью. Но при этом можно посмотреть на картинку практически в одномерном виде, опять же зафиксировав отдельные координаты. Ну то есть в проекции на плоскость zx мы снова увидим, что производная по x — это угловой коэффициент касательной. В проекции на плоскость zy опять же увидим, что производная по y — это тоже угловой коэффициент касательной. Но интересно посмотреть на то, как это все будет выглядеть в пространстве. Мы приближаем касательной плоскостью график функции от x и y. Давайте считать, что при переходе от точки (x0, y0) к точке (x, y) у нас сначала x поменялся на дельта x, а затем y поменялся на дельта y. Изменения координаты z вдоль касательной плоскости при изменении x на дельта x будет равно f'x умножить на дельта x. Изменение координаты z при изменении y на дельта y будет равно f'y умножить на дельта y. А сумма этих изменений даст итоговое изменение координаты z, которым мы и приближаем изменение функции дельта f. Но все это какие-то отдельные величины, мы можем посчитать частные производные по каждой переменной, но хочется, наверное, какой-то единый объект. Его совершенно несложно придумать, достаточно просто построить вектор из частных производных функции. Такой вектор называется градиентом, и он обладает различными интересными свойствами. Например, он задает направление наискорейшего роста функции. Об этом мы поговорим позднее. Также вы можете встречаться с другими иллюстрациями к понятию градиента, поэтому полезно познакомиться с еще одним способом визуализировать функции о двух переменных, а именно с линиями уровня. Линии уровня — это линии, вдоль которых функция принимает какое-то фиксированное значение. Таким образом, можно просто изображать эти линии на плоскости и получать какое-то представление о том, как меняется функция в разных точках. Вот если изобразить градиент вместе с линиями уровня, то градиент будет перпендикулярен линиям уровня. Это станет более понятно, когда мы разберемся с тем, как связано направление градиента с изменением значения функции. В общем случае, когда мы работаем с функцией n переменных, мы можем считать, что функция просто зависит от вектора x из пространства Rn, то есть состоящего из координат x1, ..., xn. Давайте сразу оговорим обозначения. Мы можем обозначать функции многих переменных как f (x1, ..., xn), а можем обозначать как f(x), где x — это вектор. С другой стороны, в случае, когда у нас переменные две, мы можем обозначать функцию f(x1, x2) по аналогии с предыдущими обозначениями, но есть достаточно привычный способ обозначать f(x, y). Все эти обозначения достаточно часто встречаются, поэтому мы будем использовать именно их. Как вы видите, x может быть как вектором, так и скаляром. В дальнейшем это будет понятно из контекста. Подведем итог. Мы познакомились с понятием частных производных и с понятием градиента. Оба эти понятия очень важны и будут использоваться как в этом курсе, так и во всей специализации в дальнейшем.