[MÚSICA] [MÚSICA] En este video, partiendo de un proceso de Poisson de parámetro landa y de sus propiedades, vamos a presentar y caracterizar una variable aleatoria con distribución exponencial de pará metro landa, su función de distribución acumulada y su función de densidad de probabilidad. Retomaremos el proceso de Poisson que you presentamos en una sesión anterior, que consiste en la llegada en forma aleatoria de un evento puntual en el tiempo, de acuerdo con ciertas propiedades. Por ejemplo, la ocurrencia de fallas de un sistema eléctrico, la emisión de partículas alfa de una sustancia radioactiva, la llegada de meteoritos de diámetro moderado a la superficie de la Tierra, son procesos de esta naturaleza. Cada uno de los experimentos anteriores, lo podemos ver cómo un proceso en el que se presentan eventos puntuales a lo largo del tiempo. El tiempo, lo podemos representar a través de la recta real y las llegadas del proceso como puntos que pertenecen a esa recta. Con respecto a este proceso que tiene lugar en el tiempo, tenemos dos variables de interés. La variable X sub p, que representa el número de llegadas del proceso en un intervalo de longitud t y la variable X, que representa el tiempo que transcurre entre un instante t y la siguiente llegada del proceso, o en forma equivalente, el tiempo entre llegadas. La variable aleatoria X sub p es una variable aleatoria discreta, que you presentamos y discutimos en detalle en un video anterior. La variable aleatoria X es una variable aleatoria continua, de cuya función y propiedades nos vamos a ocupar en este video. De la variable aleatoria de Poisson, X sub p, definida como número de llegadas del proceso en un intervalo de longitud t, sabemos de sesiones anteriores que tiene las siguientes propiedades. Su rango, es R de X sub p igual al conjunto que contiene los números 0, 1, 2, 3, puntos sucesivos n, es decir, los números enteros no negativos. El parámetro que la caracteriza es landa, que es igual al promedio de llegadas por unidad de tiempo mientras que t representa la longitud del intervalo. Su función de probabilidad está dada por G de X sub p evaluada en X, parámetros landa t, es igual a landa t a la X, e a la menos landa t dividido por X factorial para X igual a 0, 1, 2...n y así sucesivamente. Si t es igual a 1, G X sub p valuado en X, parámetro landa, es igual a landa a la X, e a la menos landa dividido por X factorial. Por último su valor esperado y su varianza están dados respectivamente por el valor esperado de X sub p, parámetros landa t es igual a landa t y si t es igual a 1, el valor esperado de X es igual a landa. La varianza X sub p, parámetro landa t es igual a landa por t y si t es igual a 1, la varianza de X es igual a landa. Partiendo de lo antes expuesto, vamos a ocuparnos ahora de la variable aleatoria X definida como el tiempo que transcurre entre un instante t y la siguiente llegada de un proceso de Poisson de parámetro landa. Para obtener la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X es más fácil comenzar por la función de distribución acumulada. Consideremos entonces, un proceso aleatorio de Poisson de parámetro landa que tiene lugar en el tiempo, a partir de un instante t sub 0. Entonces, la función de distribución acumulada F de X, evaluada en un punto t, parámetro landa estará dada por la probabilidad de que la variable X sea menor, igual que t. Pero, eso lo podemos expresar también combo, porque nos va a convenir 1 menos la probabilidad de que la variable aleatoria X, sea mayor que t. Pero observemos que, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor mayor que t, significa que hay 0 llegadas del proceso de Poisson en el intervalo de tiempo t. Es decir, esto es equivalente a que haya 0 llegadas en el tiempo t. Pero, la probabilidad de que haya 0 llegadas del proceso de Poisson en el tiempo t, es exactamente igual que evaluar la función de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson, en el valor 0, parámetro landa t y esto a su vez, es igual a 1 menos la función de probabilidad evaluada en 0, parámetro landa t, es igual a landa t a la 0, dividido por 0 factorial, por e a la menos landa t. Para t mayor que 0. Esto a su vez, es igual a 1 menos landa t a la 0 sabemos que es igual a 1 y 0 factorial es igual a 1, o sea que nos queda 1 sobre 1 por e a la menos landa t para t mayor que 0. Por tanto, la función de distribución acumulada de la variable aleatoria exponencial evaluada en t, parámetro landa, es igual a 1 menos e a la menos landa t, para t cualquiera, mayor que 0. De esa manera hemos obtenido la función de distribución acumulada de la variable aleatoria exponencial de parámetro landa. En consecuencia, si tenemos la función de distribución acumulada que, evaluada en el punto t es igual a 1 menos e a la menos landa t, la función densidad de probabilidad de la variable aleatoria exponencial evaluada en un t, parámetro landa, será igual a la derivada de la función de instrucción acumulada, es decir FX prima de t, parámetro landa, que es igual por supuesto a la derivada de la expresión 1 menos e a la menos landa, t y esa derivada, es igual a 0 menos landa, e a la menos landa, t que nos quedaría igual a menos, menos así que es landa, e a la menos landa, t para t cualquier valor mayor que 0. Es decir, la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria exponencial de parámetro landa evaluada en un t, estará dada por landa, e a la menos landa, t, para t valor real mayor que 0, cualquiera. En síntesis, la variabilidad aleatoria x que representa el tiempo que transcurre entre el instante t, y la siguiente llegada del proceso de Poisson, de parámetro lamda, tiene función de densidad de probabilidad f de x, evaluada en x, parámetro lamda, igual a lamda e a la menos lamda x. Para x mayor que 0, cualquiera. Entonces, la función de distribución acumulada, de la variable aleatoria x, estará por la integral en el rango de la variable aleatoria que va entre 0 y en este caso, x, de la función de densidad de probabilidad, lamda e a la menos lamda t, dt. Que como you vimos, es igual a 1 menos e a la menos lamda x, para x cualquiera mayor que 0. Las gráficas de las funciones de densidad de probabilidad y de la función de distribución acumulada de la variable aleatoria exponencial, de parámetro lamda, aparecen a continuación. [MÚSICA] [MÚSICA] Igualmente, se puede demostrar que el valor esperado de la variable aleatoria x, parámetro lamda, es igual a 1 sobre lamda, y que la varianza de la variable aleatoria x, parámetro lamda, es igual a 1 sobre lamda cuadrado. De esa manera tenemos caracterizada completamente la variabilidad aleatoria exponencial de parámetro lamda, asociada a un proceso de Poisson de parámetro lamda. Por último, nótese que la probabilidad de que la variable aleatoria exponencial, tome un valor estrictamente mayor que x es igual a 1 menos la probabilidad de que x sea menor o igual que x. Y como la función de distribución acumulada es igual a un número de lamda x, entonces, esta expresión es igual a 1 menos, 1 menos e a la menos lamda x. que por supuesto es igual a e a la menos lamda x, para x mayor que 0. Es decir, la probabilidad de que una variable aleatoria exponencial tome un valor mayor que x es sencillamente, igual a e a la menos lamda x, para cualquier x mayor que 0 de la recta real. A continuación vamos a presentar un ejemplo aplicado sobre la distribución exponencial. Las llamadas al call center de cierta empresa se comportan como un proceso de Poisson de parámetro lamda, igual a 15 llamadas por hora. Queremos resolver las siguientes preguntas, 1. ¿Cuál es la probabilidad de que en un lapso de 8 minutos ingrese al menos una llamada al call center? 2. ¿Cuál es el valor esperado del tiempo que transcurre desde un instante t0, y en el momento en el que ingresa la siguiente llamada al call center? Veamos a continuación cómo se soluciona este problema. Antes de comenzar debemos tener claro que tenemos que trabajar con una sola unidad de tiempo que en este caso puede ser minutos. Como 15 llamadas por hora es equivalente a 0.25 llamadas por minuto, obtenemos que el parámetro del proceso de Poisson será lamda igual a 0.25 llamadas por minuto. La variabilidad aleatoria de interés será entonces, x igual al tiempo entre llamadas que ingresan al call center. De acuerdo con lo expuesto previamente en este video, x tiene una distribución exponencial de parámetro lamda igual a 0.25 llamadas por minuto. Ahora sí podemos proceder a resolver las preguntas propuestas. Que en un lapso de 8 minutos ingrese al menos una llamada al call center, es equivalente a decir que el tiempo entre llamadas, es menor o igual que 8. Y sabemos que la variabilidad aleatoria x tiene una distribución exponencial de parámetro lamda igual a 0.25, es decir, esta probabilidad es igual a, 1 menos e a la menos lamda por x, pero en nuestro caso, x es igual a 8, y lamda es igual a 0.25, es decir, nos queda igual a e, a menos 0.25 por 8, es decir, 1 menos e a la menos 2, que es igual a 0.86. La segunda pregunta que nos hacen se refiere al valor esperado de la variable aleatoria exponencial. Sabemos que el valor esperado de una variable aleatoria exponencial de parámetro lamda, es igual a 1 sobre lamda. Pero en nuestro caso, lamda es igual a 0.25 es decir, el valor esperado de esta variable es igual a 1 sobre 0.25, que por supuesto es igual a 4. Lo cual significa que el valor esperado de el tiempo entre llegadas, es decir, el tiempo entre llamadas de esta variable aleatoria es de 4 minutos. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA] [MÚSICA]