[MÚSICA] [MÚSICA] En este video, vamos a presentar la definición y propiedades de la distribución normal asociada a una variable aleatoria continua particularmente importante en las aplicaciones en los campos de probabilidad y estadística. Esta distribución surge en forma natural de la medición, por ejemplo, de algunas características de las personas, como peso y estatura, o del error con respecto a una medida objetivo de la longitud de un perno en su proceso de fabricación. Su función de densidad de probabilidad tiene una forma armónica y simétrica que, de cierta forma, evoca la perfección. Tal como se ilustra en la gráfica que observamos a continuación, correspondiente a una variable aleatoria con distribución normal de media mu y varianza sigma al cuadrado. Tiene una propiedad que la hace sobresalir en los campos de probabilidad y estadística y es que si sumamos un número grande mayor que 30, digamos, de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas de media mu y varianza sigma al cuadrado, la suma de dichas variables tiende a ser normal, independientemente de la distribución que tengan dichas variables aleatorias. Una variable con distribución normal está completamente determinada por los parámetros mu y sigma al cuadrado que corresponden, respectivamente, a su media y a su varianza. Observemos a continuación la gráfica de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria normal para diferentes valores de sus parámetros mu y sigma al cuadrado. En las gráficas, observamos que la función de densidad es simétrica con respecto al eje que pasa por su media y que en la medida en que la varianza es mayor, la función tiende a aplanarse, lo que implica, como es natural, que su nivel de dispersión alrededor de la media aumenta. El rango teórico de una variable aleatoria X que tiene distribución normal de media mu sigma al cuadrado es es el conjunto menos infinito, infinito. Es decir, el rango de X es igual a toda la recta real que representamos por menos infinito e infinito. Sin embargo, los valores de esta variable están altamente concentrados entre tres veces la desviación estándar a la izquierda de la media y tres veces la desviación estándar a la derecha de la media, es decir, en el intervalo mu menos tres veces la desviación estándar y mu más tres veces la desviación estándar. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución normal de media mu y varianza sigma al cuadrado se encuentre en este intervalo, es decir, la probabilidad de que X sea menor o igual que mu más tres veces sigma y sea mayor o igual que mu menos tres veces sigma es igual a 0.997. La expresión matemática para la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X con distribución normal de media mu varianza sigma al cuadrado, está dada por la expresión Fx (x), parámetros mu, sigma al cuadrado igual a 1 sobre raíz de dos pi, sigma, E a la menos X menos mu al cuadrado sobre 2 sigma al cuadrado. Para X pertenece al intervalo menos infinito, infinito. La gráfica de esta función matemática tiene exactamente la forma que aparece a continuación. Merece especial atención la variable aleatoria X que tiene una distribución normal de media mu, varianza sigma al cuadrado, en el caso particular en el que mu es igual a cero y sigma al cuadrado es igual a uno. Es decir, esta variable, que la vamos a representar por Z, tiene una distribución normal de media 0 y varianza 1. La gráfica correspondiente a esta variable, que vamos a llamar en adelante distribución normal estándar, aparece a continuación. Una propiedad característica de una variable aleatoria X que tiene distribución normal de media mu y varianza sigma al cuadrado es que si a esa variable le restamos su media y dividimos por su desviación estándar, esta nueva variable aleatoria tiene distribución normal de media 0 y varianza 1. A esta variable, como you lo hemos mencionado antes, la representaremos por la letra Z. Esta propiedad que acabamos de describir se conoce como la estandarización de una distribución normal. Actualmente, gracias a los computadores personales y a las diferentes herramientas computacionales de uso común, es muy fácil realizar los cálculos que se requieran relacionados con el cálculo de probabilidades de que una variable aleatoria normal se encuentre en determinado rango. Dado que siempre es posible estandarizar una variable aleatoria normal, en adelante nos vamos a concentrar en el cálculo de las probabilidades asociadas a una variable aleatoria normal estándar Z. Para una variable aleatoria Z que tiene distribución normal 0, 1, la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que Z no es otra cosa que el área bajo la curva de la distribución normal estándar entre menos infinito y el punto Z. Lo cual podemos representar en la gráfica que aparece a continuación y esa área que corresponde a la probabilidad, para el caso en que Z es igual a -0.5, estaría dada por el área bajo la curva de la distribución normal estándar entre menos infinito y -0.5. Esa probabilidad es igual a 0.309. Es decir, la probabilidad de que Z sea menor o igual que -0.5 es el área bajo la curva y esa área bajo curva entre menos infinito y menos -0.5 es igual a 0.309. Gracias a la propiedad de estandarización de una variable X con distribución normal de media mu y varianza sigma al cuadrado, podemos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria X sea menor o igual que cualquier valor de la recta real X. Por ejemplo, si tenemos la variable aleatoria X que tiene distribución normal de media 250 y varianza 400, que es equivalente a desviación estándar igual a 20, entonces utilizando la propiedad de estandarización de una variable aleatoria normal, tenemos que la probabilidad de que X sea menor o igual a 260 es igual a la probabilidad de que X menos 250 sobre su desviación estándar sea menor o igual que 260 menos 250 sobre 20. Esta expresión que tenemos aquí es una variable aleatoria con distribución normal 0, 1, de tal manera que esta expresión es equivalente a la probabilidad de que una variable aleatoria Z normal estándar sea menor o igual que 260- 250, que es 10 sobre 20, es decir, 0.5. Esta probabilidad corresponde al área bajo la curva de la distribución normal estándar Entre 0.5 y menos infinito, que es igual a 0.6915. A la función F sub z de Z igual a la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z, que asigna a un valor Z de la recta real la probabilidad de que la variable aleatoria Z tome un valor inferior o igual a Z, se conoce como la distribución acumulada de la variable aleatoria Z. Dicho valor corresponde exactamente al área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad normal estándar, entre menos infinito y el punto Z de la recta real, tal como se ilustra en la figura que aparece a continuación. Tal como se mencionó antes, las tablas de dicha función suelen aparecer en los textos de probabilidad y estadística. También en programas como Excel y similares, la función de distribución acumulada de la variable aleatoria Z, hace parte de las funciones disponibles en la librería de fórmulas de dichos programas, tal como lo ilustraremos más adelante en este video. A continuación, aparece la tabla de la distribución acumulada de la variable aleatoria de Z, F sub Z de Z, igual a la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z, la cual utilizaremos para ilustrar algunos cálculos de probabilidades asociadas a la variable aleatoria Z con distribución normal estándar. Nótese que en la tabla solo aparecen valores en el rango entre 0 y 4. Puesto que por la propiedad de simetría de la distribución normal, la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos Z, es igual a 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z. Por ejemplo, si Z es igual a menos 1.5 la probabilidad de que Z sea menor o igual a menos 1.5, es igual a 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual a 1.5 que es igual a 1 menos 0.9332 que es igual a 0.0668. La tabla de los valores de la distribución acumulada de la variable Z, F sub Z de Z, igual a la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z, está organizada por columnas. En la primera columna aparece el valor Z, y en la segunda columna, en la misma fila de Z, figura el valor de la función de distribución acumulada F sub Z de Z, evaluada en el valor Z. El valor de F sub Z de Z corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar, Z, tome un valor inferior o igual a Z, que es igual al área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria normal estándar, entre menos infinito y el punto Z. Como you se mencionó antes, en la tabla solo aparecen los valores en el rango entre 0 y 4, puesto que por la propiedad de simetría de la distribución normal la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z, es igual a 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z. En la tabla podemos observar, por ejemplo, que si Z es igual a 1.5, entonces F sub Z de 1.5 es igual a la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1.5, es igual a 0.9332. Para valores de Z negativos como por ejemplo Z igual a menos 1, you sabemos que probabilidad de que Z sea menor o igual que menos 1, es igual a 1 menos la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1, y utilizando la tabla vemos que si Z es igual a 1, la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1, es igual a 0.8413 obteniendo de esa manera que la probabilidad de que Z sea menor o igual que menos 1, es igual a 1 menos 0.8413 que es igual a 0.1587. Los valores de la función de distribución acumulada de F sub Z, de Z, evaluada en un valor Z, también los podemos obtener en Excel utilizando la función prevista en dicho programa para tal efecto. Si por ejemplo, Z es igual a 1.18, entonces F sub Z de 1.18 es igual a la probabilidad de que Z sea menor o igual que 1.18, se puede obtener utilizando la función de Excel que aparece en la pantalla. Observemos que al usar esta función se debe ingresar en orden el valor Z de interés, en este caso 1.18, y después indicar si se debe aplicar la distribución de probabilidad acumulada, verdadero, o la función de densidad de probabilidad, falso. Puesto que en el ejemplo que estamos analizando estamos hablando de la función de distribución acumulada, debemos entonces utilizar la opción verdadero. Veamos ahora cómo podemos hallar el valor Z tal que la probabilidad de que Z sea menor o igual que Z, es igual a 0.95. Es decir, el percentil del 95% de una variable aleatoria Z con distribución normal estándar. Para hallar dicho valor Z, utilizando la tabla que se muestra en pantalla, buscamos en las columnas correspondientes a las probabilidades el valor 0.95. Observamos que el valor Z correspondiente a dicha probabilidad es 1.65. Por lo tanto, 1.65 es el percentil de 95% de la distribución normal estándar, tal como aparece en la tabla. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA] [MÚSICA]