[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] En este video presentaremos la distribución uniforme. Esta distribución se caracteriza por tener dos parámetros, a y b, que definen el rango de la variable. Entonces, por ejemplo, si tenemos que una variable aleatoria x, sigue una distribución uniforme, los parámetros de esta distribución son los valores, a, b. Donde el rango de mi variabilidad aleatoria x, está precisamente definido en el intervalo a, b. Esta distribución se caracteriza por tener una función de densidad plana, eso quiere decir que la concentración de probabilidad en todos los puntos dentro del rango de mi variable es la misma. Entonces, por ejemplo, si mi variable está definida en el rango a, b, la distribución uniforme tiene una función de densidad plana o constante en todo el intervalo a, b. Como sabemos el área bajo la curva de cualquier variable aleatoria continua debe ser exactamente 1, eso quiere decir, que si trazamos el área que está representada en este rectángulo de esta distribución, esa área debe ser exactamente igual a 1. El área de un rectángulo es base por altura. La base en este caso es b menos a. por una altura, h, y eso debe ser exactamente igual a 1. Eso quiere decir que esa altura h, es igual a 1 sobre b menos a. Entonces, esta altura de la función densidad, probabilidad es 1 sobre b menos a, para que mi función esté correctamente definida en el rango a, b. Eso quiere decir entonces que formalmente podemos escribir que la función de densidad de una variable aleatoria x, que sigue una distribución uniforme, es igual a 1 sobre b menos a, para todos los valores de x que pertenezcan al rango, entre a y b. Recordemos entonces que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria x, que sigue una distribución uniforme está dada por la ecuación, 1 sobre b menos a, en el intervalo de todos los valores de x que pertenezcan a, a y b. Ahora nuestro interés es por ejemplo, calcular una probabilidad. Pensemos en calcular la probabilidad de que mi variable aleatoria x que sigue una distribución uniforme en el intervalo a, b, sea menor o igual, a un valor particular x dentro del rango. Entonces, pintemos un valor cualquiera, por ejemplo el valor x, y lo que queremos es calcular el área bajo la curva desde el mínimo del rango que recordemos que es el valor a, que está en el parámetro, hasta ese valor x, es decir, queremos calcular el área bajo la curva de este rectángulo que estoy sombreando. Esta probabilidad la podemos entonces calcular como la probabilidad de que mi variable aleatoria x que sigue una distribución uniforme, sea menor o igual a un valor particular x dentro de su rango. Recordemos que como la distribución uniforme es una distribución continua, para calcular esta probabilidad, realizamos la integral entre el mínimo del rango, que en este caso es el valor a, que entra como parámetro, y el valor, x, particular. Esto quiere decir que este límite superior de la integral, este valor x, es el mismo que tenemos acá. Y vamos a integrar la función de densidad de probabilidad de mi variable aleatoria x. De nuevo, como mi variable aleatoria x, sigue una distribución uniforme, esa función está dada por 1 sobre b menos a. Al realizar la integral obtenemos x menos a sobre b menos a, como resultado de la integral. Recordemos que esta probabilidad que planteamos acá también es la misma función de distribución acumulada de la variable aleatoria x. La función de distribución acumulada, la función para un valor particular x, responde a la probabilidad de que esa variable aleatoria x sea menor o igual a un valor particular dentro de su rango, donde este valor en el cual yo evalúo mi función es el valor máximo al cual yo quiero calcular la probabilidad hacia menor o igual a este valor. Por lo tanto, la función de distribución acumulada en este caso está definida como, toma el valor de 0 para todos los valores de x, que no pertenezcan al rango de mi función, es decir, como mi rango empieza entre el límite inferior de mi rango es a, toma el valor de 0 para todos los valores x que sean menor a ese valor a. Toma el valor x menos a sobre b menos a, que es el resultado de esta integral, para todos los valores x que estén en el rango de mi función, es decir que estén entre a y b. Y, tomará el valor de 1 para todos los valores que sean superiores al rango de mi función, es decir, como el máximo del rango es el valor b, será 1 para todos los valores x que sean mayores o iguales a ese valor b. Esta función se representa gráficamente como, hagamos nuestros ejes, este es el x, acá voy a representar mi función de distribución acumulada, y esta función, voy hacer por acá el valor a, y por acá el valor b, que de nuevo son los valores del rango de mi variable aleatoria x. Entonces, esta función toma el valor de 0 para todos los valores que sean menores a, a. Esta función toma el valor x menos a sobre b menos a, para todos los valores que estén entre a y b. Y tomará el valor de 1 para todos los valores de x que sean superiores a b. Ahora nuestro interés es calcular por ejemplo la probabilidad de que la variable aleatoria x, que sigue una distribución uniforme en el intervalo a, b, sea menor o igual a un valor particular k, dentro de su rango. Si tenemos la función de distribución acumulada, lo único que hacemos es evaluar esta función en el punto particular k. Entonces por ejemplo, yo quisiera evaluar mi función de distribución acumulada en un punto particular k dentro del rango. Esto me va a decir a mí la probabilidad de que mi variable aleatoria x, que sigue una distribución uniforme sea menor o igual a ese valor k dentro del rango. Lo único que hago es, voy a mi función de distribución acumulada y evalúo la función en el valor particular k. Si ese valor está en el intervalo a, b, la función me dice que esto debería ser igual a, x menos a, sobre b menos a. Sin embargo nuestro valor x de acá, es ahora nuestro valor k, por lo tanto debería ser k menos a, sobre b menos a. Ahora es de nuestro interés calcular el valor esperado de una variable aleatoria x que sigue una distribución uniforme en el intervalo a, b. Recordemos que para calcular el valor esperado de una variable aleatoria continua, debemos calcular la integral en todo el rango de la variable del valor x, por la función de densidad de probabilidad de esa variable, es decir, en términos generales, por f de x de x. En nuestro caso particular donde nuestra variable aleatoria x, sigue una distribución uniforme, deberíamos resolver la siguiente integral. Integral en el rango de mi variable. Recordemos que el rango de una variable aleatoria uniforme es a, b, por lo tanto, la integral entre a y b, de x, por la función de densidad de probabilidad de esa variable que you encontramos que es 1 sobre b menos a. [AUDIO_EN_BLANCO] Resolviendo la integral que tenemos planteada, encontramos que el valor esperado de x donde x es una variable aleatoria uniforme, es igual a, a más b sobre 2. También es de nuestro interés calcular la varianza de una variable aleatoria x, que sigue una distribución uniforme en el intervalo a, b. Es decir, que queremos calcular varianza de la variable aleatoria x. Recordemos que para cualquier variable aleatoria continua, la varianza se calcula como la integral sobre todo el rango de la variable. La integral en el rango de mi variable x, de las distancias que hay entre los puntos y la media, al cuadrado, esas distancias al cuadrado, multiplicado por la función de densidad de probabilidad. Es decir de, x menos la media miu, al cuadrado, por la función de densidad de probabilidad. Recordemos que miu, es otra forma que tenemos de escribir el valor esperado de x. Es decir que, para nuestra variable aleatoria x, que sigue una distribución uniforme, la varianza la calculamos como, la integral en el rango de la variable, que recordemos que es a y b, de x menos miu, al cuadrado, por la función de densidad de probabilidad, que you sabemos que es 1 sobre b menos a de x. Recordemos nuevamente que este valor de miu, es lo que you previamente habíamos calculado como el valor esperado de x. Es decir que este valor de miu, equivale a, a más b sobre 2. Al resolver esta integral obtenemos que la varianza para una variable aleatoria x que sigue una distribución uniforme, es igual a, b menos a, al cuadrado, sobre 12. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA] [MÚSICA]
