[MUSIQUE] Bonjour, dans cette session nous allons laisser de côté, un peu, les corps, pour passer en revue quelques éléments de théorie de groupes. Alors on a déjà vu quelques définitions, ordres d'un élément, et démontré le théorème de Lagrange, et nous allons aller ici, un petit peu plus loin. Nous attacherons une attention toute particulière aux groupes de permutations, c'est-à -dire des bijections d'un ensemble fini, puisque les groupes de Galois apparaissent naturellement sous cette forme. Ils permutent les racines d'un polynôme donné. On définit donc le groupe, S n, composé de toutes les permutations d'un ensemble fini, à n éléments, l'ensemble en général comprend, égal à 1, 2, etc., jusqu'à n. Son cardinal est, factorielle n. Il y a diverses façons de noter un élément sigma de, S n, c'est-à -dire une permutation. L'une d'elle est sous forme d'un tableau, où on indique, dans la première ligne, les éléments de l'ensemble, 1, 2, 3, jusqu'à n, et dans la seconde ligne, leurs images par sigma, c'est-à -dire, sigma 1, sigma 2, sigma 3 etc., jusqu'à sigma n. Parmi les éléments du groupe, S n, il y en a d'un type particulier, qu'on appelle permutations circulaires, ou cycles. Ce sont des bijections du type suivant, donc elles envoient un éléments, a1, sur un autre élément distinct, a2, qui est envoyé lui-même sur a3, etc. On arrive à un élément, a r, qui est renvoyé sur le premier élément. Donc, je répète, tous ces éléments sont supposés distincts, et les autres éléments qui n'apparaissent pas dans ce cycle, sont laissés fixes par la permutation. On appelle cette permutation, tau, un r-cycle, et on la note, de la façon suivante, a1, virgule, a2 etc., a r. Donc on notera que la notation n'est pas la même que celle sous forme de tableau que j'ai expliquée tout à l'heure, et aussi qu'elle n'est pas unique. Le cycle, a1, a2, a r, est le même que le cycle, a2, a3, etc. a r, a1. L'ensemble, a1, a2, a r, est appelé le support du cycle, ce sont les éléments de, 1, n, qui sont bougés par le cycle, les autres étant laissés fixes. Enfin, lorsque r égale 2, le 2-cycle ne fait changer que échanger deux éléments, et on parle, dans ce cas, de transposition, plutôt. En tant qu'élément du groupe, S n, un r-cycle est d'ordre r. On a, tau puissance r, égale, identité, l'élément neutre de, S n ; et r est le plus petit entier strictement positif qui a cette propriété. Alors, pourquoi les cycles sont-ils si importants dans la théorie du groupe des permutations, S n? Une des raisons est que, toute permutation se décompose, de façon unique, en produit de cycles à support disjoints. Alors, plutôt que de faire une démonstration formelle de cette propriété, je vais expliquer, un petit peu, comment ça se passe. Donc, partons de 1, et appliquons de façon répétée la permutation sigma. Donc 1 est envoyé sur sigma de 1, qui est envoyé sur sigma 2 de 1 etc. etc. Tous ces entiers qu'on obtient restent dans l'ensemble fini, 1, n. Donc, au bout d'un moment, il va y en avoir deux, qui vont être égaux. Je considère le plus petit entier, r, strictement positif, pour lequel il existe un entier, s, strictement inférieur à r, tel que, sigma r de 1, égale sigma s de 1. Dit de façon plus simple, c'est donc la première fois où on a une répétition. Alors, en prenant l'image des deux membres de cette égalité, par, sigma puissance moins s, on obtient, sigma, puissance r moins s, de 1, égale 1. Mais, r moins s, est plus petit que r, donc s égale zéro, par minimalité de l'entier r. Cela signifie que la première répétition dans cette suite, est celle de 1. On obtient donc un premier r-cycle, 1, sigma 1, sigma 2 de 1 etc. jusqu'à , sigma r moins 1, de 1. Et on recommence le processus en partant d'un élément de, 1, n, qui n'est pas dans le support de ce cycle. Et ceci jusqu'à ce qu'il ne reste plus aucun élément. Expliquons sur un exemple ce qui se passe. Vous verrez que c'est très simple. Donc vous voyez à l'écran une permutation de huit éléments. Comme je l'ai expliqué on part de 1, 1 est envoyé sur 3, 3 est envoyé sur 7, 7 est envoyé sur 2, 2 est envoyé sur 1, on voit bien que la première répétition est celle de 1, et on obtient un 4-cycle, 1, 3, 7, 2. Je pars maintenant d'un autre élément, qui n'est pas dans le support de ce cycle, par exemple 4, je vois que 4 est envoyé sur 4, donc là je m'arrête tout de suite ; j'obtiens un 1-cycle, mais un 1-cycle en fait c'est juste l'identité. Je prends un élément qui n'est pas dans ceux déjà utilisés, donc par exemple 5 ; je vois que 5 est envoyé sur 8, 8 sur 6, et 6 sur 5 ; donc, j'obtiens un 3-cycle, 5, 8, 6. Tout cela montre que, notre permutation sigma, peut s'écrire sous la forme, 1, 3, 7, 2, un 4-cycle, fois, 5, 8, 6. Notons que les cycles apparaissant dans cette décomposition commutent entre eux, puisque leurs supports sont disjoints, on peut donc les écrire dans n'importe quel ordre. Maintenant, c'est à vous de jouer. Dans un petit quizz qui va vous permettre de décomposer une permutation donnée. Toute permutation est ainsi, produit de cycles. On peut décomposer plus avant, de la façon suivante. Si j'ai un r-cycle, noté comme d'habitude, a1, a2, a r ; on peut le décomposer en produit de transpositions par exemple, a1, a2, a r, égale, transposition a1, a2, fois transposition a2, a3, etc., jusqu'à la transposition, a r moins 1, a r. Je vous laisse vérifier que cette égalité est en effet valide. Donc deux remarques, d'abord cette décomposition n'est pas unique, et l'ordre dans lequel on écrit les transpositions est très important, comme vous pourrez le vérifier, en faisant quelques petits calculs. Toute permutation peut donc s'écrire comme produit de transpositions. Comme vous le verrez en exercice, on peut en déduire que toute permutation peut s'écrire comme produit de permutations égales à la transposition, 1, 2, ou au n-cycle, 1, 2, 3, n. Nous nous servirons de ce résultat plus tard. On dit que le groupe, S n, est engendré par la transposition, 1, 2, et le n-cycle, 1, 2, n. Nous allons maintenant définir un attribut important d'une permutation, sa signature. On dit tout d'abord qu'une permutation, sigma, inverse deux éléments i et j, de, 1, n, si i est strictement plus petit que j, mais que, sigma de i, est strictement plus grand que sigma de j. On définit alors la signature, notée epsilon de sigma, comme étant, plus 1, si le nombre d'inversions est pair, et, moins 1, s'il est impair. Je vais maintenant énoncer une proposition, qui regroupe deux propriétés importantes de la signature. Première propriété, je prends, x1, x2, x n, des éléments d'un anneau commutatif unitaire quelconque, par exemple, des nombres entiers, si vous voulez, alors, pour toute permutation sigma, le produit, pour i strictement inférieur à j, des, x sigma i, moins x sigma j, est égal à la signature, fois le même produit des, x i moins x j. Deuxième propriété, la signature, qu'on voit comme une application de, S n, dans l'ensemble, moins 1, plus 1, est un morphisme de groupe. Cela signifie qu'on a, epsilon de l'identité, égale 1, et epsilon de sigma tau, égale epsilon de sigma, fois epsilon de tau. Alors je ne vais pas faire une preuve très détaillée de ces deux propriétés, que vous connaissez peut-être déjà . Pour la première, remarquons tout simplement que, dans ces deux produits, les facteurs sont les mêmes, mais au signe près. On vérifie que ce signe est bien égal à la signature. Pour démontrer la propriété de morphisme de groupe, c'est-à -dire que, epsilon de sigma tau, égale, epsilon de sigma, fois epsilon de tau, il suffit d'appliquer la relation qu'on vient de démontrer, une première fois, avec des, x i, entiers distincts, et sigma appartenant à , S n ; et une seconde fois, en prenant, y i, égale, x sigma i, et tau appartenant à , S n. Vous verrez, en écrivant simplement ces deux relations qu'on obtient le résultat cherché. On peut utiliser la proposition, en particulier la deuxième propriété, pour calculer facilement la signature d'une permutation. Tout d'abord, on remarque que la signature d'un r-cycle est, moins 1, puissance r moins 1. Cela peut se voir par exemple en décomposant ce r-cycle en produit de, r moins une transpositions, et en remarquant que, il résulte de la définition que la signature d'une transposition est moins 1. Donc maintenant, si je prends notre permutation sigma de tout à l'heure, permutation de huit éléments, qui apparaît sur l'écran, cette permutation a été décomposée en produit d'un 4-cycle et d'un 3-cycle, sa signature est donc égale au produit de la signature du 4-cycle, c'est-à -dire, moins 1, par la signature du 3-cycle, c'est-à -dire 1. On obtient donc, epsilon de sigma égale, moins 1. Je vous remercie de votre attention, et à bientôt, pour la prochaine cession. Au revoir.
