[MUSIQUE] Bonjour, dans cette dernière vidéo de ce MOOC, FLOT de la théorie de Galois, nous allons nous intéresser au calcul du groupe de Galois de l'extension cyclotomique sur le corps des rationnels. Alors, je vous le rappelle, l'extension cyclotomique, c'est simplement le corps engendré sur Q, par une racine primitive n-ième de l'unité, par exemple, l'exponentielle de 2 i Pi sur n, donc, puisqu'on s'intéresse à une extension complexe, on est dans une extension de Q. Alors, pourquoi s'intéresser à l'extension cyclotomique plutôt qu'à une autre? Alors ça pourrait être simplement un exemple intéressant, c'est en fait beaucoup plus. Alors, je vais vous donner un argument, qui est simplement le théorème de Kronecker-Weber, qui est un théorème extrêmement profond, mais malheureusement sa preuve est trop difficile pour être abordée dans ce cours. Elle nécessite d'ailleurs de l'analyse, ce qui est un point assez intéressant pour un problème qui a l'air complètement algébrique. Alors, l'énoncé du théorème de Kronecker-Weber, est très simple. Quel est-il? Eh bien tout simplement, j'affirme que, ou plutôt, avec Kronecker et Weber, j'affirme que, toute extension galoisienne de Q, dont le groupe de Galois est commutatif, est contenue dans une extension cyclotomique. Une autre manière de comprendre ce théorème c'est de dire, simplement, si vous connaissez les extensions cyclotomiques, eh bien vous connaissez, d'une certaine manière, toutes les extensions dont le groupe de Galois est commutatif. Et c'est essentiellement l'objet de la théorie de ce qu'on appelle la théorie du corps de classe. Alors, dans les exercices, nous vous proposerons quelques cas particuliers de ce théorème très profond, par exemple, le fait que, toutes les extensions quadratiques, engendrées par la racine carrée d'un rationnel de Q, sont donc contenues dans une extension cyclotomique. Alors pourquoi c'est un cas particulier? Parce que, on sait bien que le groupe de Galois des extensions quadratiques est un groupe cyclique d'ordre deux, c'est Z sur 2 Z, qui est donc commutatif. Bien, alors, on vous proposera également en exercice, le résultat suivant. C'est un énoncé de type, Galois inverse, comme on dit, à savoir que, tout groupe phi, commutatif, est le groupe de Galois d'une sous-extension, d'une certaine extension cyclotomique. Donc ça va un peu dans le sens du théorème de Kronecker-Weber. Donc commençons par quelques notations, et rappels des fois précédentes. On commence par considérer un entier n, disons strictement positif, grand K, Q de xi à xi, l'expansée de, 2 i Pi sur n, grand K sur Q est donc l'extension cyclotomique, et on considère son groupe de Galois, qu'on note, comme d'habitude, grand G. Alors, lorsque nous avons étudié les extensions cyclotomiques, de manière générale, nous avons défini un morphisme injectif, qu'on avait appelé khi, qui allait de G dans le groupe, Z sur n Z, étoile, c'est le groupe des éléments inversibles de, Z sur n Z. Alors, comment était caractérisé ce morphisme? Eh bien, tout simplement par l'identité suivante. C'est que, pour toute racine nième de l'unité zêta, pour toutes les non g de Galois, on a, g de zêta, égale, zêta à la puissance, khi de g. Alors, quel est le théorème qu'on va démontrer, qui est un théorème qui, essentiellement est dû à Gauss? Eh bien, tout simplement que, le morphisme khi est bijectif. En général, on avait montré donc que ce morphisme était injectif, et dans le cas particulier, où le corps de base est Q, eh bien ce morphisme, ce caractère cyclotomique est bijectif. Alors, la dernière fois, ou l'une des dernières fois en tout cas, nous avions observé que ce théorème équivalait à une forme, disons, polynomiale, c'est-à -dire que, ce théorème équivaut à l'irréductibilité du nième polynôme cyclotomique qu'on a baptisé, phi n. Commençons par un lemme. J'affirme que le groupe multiplicatif, (Z/nZ*), donc des éléments inversibles de, Z/nZ, est engendré par les classes, modulo n, des nombres premiers, p, qui sont premiers avec n. Comment prouver ça? Eh bien, un élément de, (Z/nZ*), est la classe d'un entier, disons, petit m, qui est premier avec n. Alors une fois qu'on a cet entier m, premier avec n, on peut le décomposer en facteurs premiers, p1 puissance, mu 1, etc. disons, alfa puissance, mu alfa. Donc on a un certain nombre de facteurs qui apparaissent, et tous ces facteurs sont évidemment, premiers avec n, ils ne divisent pas n. Eh bien, si vous savez que dans le groupe, (Z/nZ*), vous avez tous les nombres premiers, vous engendrez comme ça toutes les classes des nombres premiers, vous avez bien montré que les classes des nombres premiers, p, engendrent le groupe, (Z/nZ*). Pour continuer cette preuve, regardons un peu ce qui ça se passer, modulo p, où p est un nombre premier, pour l'instant, disons, on va simplement supposer qu'il ne divise pas n. Alors, comme il ne divise pas n, la classe de, n modulo p, n'est pas nulle. Du coup, quand on regarde le polynôme dérivé de, X n, moins 1, qui est, n X, n moins 1, vu comme un polynôme de F p de X, il n'a qu'une racine, comme d'habitude, qui est zéro ; de sorte que, le polynôme, X n, moins 1, vu comme polynôme de F p de X, est un polynôme séparable, il n'a que des racines distinctes, dans disons, une clôture algébrique, ou un corps algébriquement clos, qui contient F p. Et donc on peut appliquer le théorème de réduction modulo p, dans sa version forte, au polynôme X n, moins 1, puisque la réduction de X n, moins 1, modulo p, est un polynôme séparable. Alors rappelons l'énoncé de ce théorème de réduction forte. Alors pour cela, on doit choisir un idéal maximal, m, gothique disons, de l'anneau O engendré par ksi, notre racine de l'unité exponentielle, 2 i Pi sur n, qui est donc un sous-anneau de C, et on choisit un idéal maximal qui contient le nombre premier p, qu'on s'est donné. Une fois qu'on a ça, on peut considérer le groupe de décomposition, D indice m, de G, qui, je vous le rappelle, est simplement, l'ensemble des éléments de Galois qui fixent l'idéal maximal m. Dans ce cas, nous savons d'après ce que nous avons démontré lorsque nous avons étudié la réduction modulo p, des polynômes, qu'on a à notre disposition un corps fini, qu'on peut noter, kappa, qui est simplement le quotient de O par m, puisque m est un idéal maximal, c'est un corps. Et que ce corps, kappa, n'est rien d'autre que le corps engendré sur F p, par la classe modulo m, de Xi qu'on a noté ici, Xi barre. Ainsi, comme nous l'avions déjà observé, kappa n'est rien d'autre que le corps de décomposition du polynôme, X n, moins 1, mais corps de décomposition, cette fois-ci, sur le corps F p, sur le corps premier à p éléments. Une fois qu'on a fixé ces notations, et ces résultats intermédiaires, le théorème de réduction forte assure, sous l'hypothèse donc que p ne divise pas n, que la réduction modulo l'idéal maximal, m, induit un isomorphisme du groupe de décomposition, D m, avec le groupe de Galois résiduel, c'est-à -dire le groupe de Galois de, kappa sur F p, le groupe de Galois du corps de décomposition modulo p, du polynôme, X n, moins 1. Alors, pourquoi c'est intéressant? Eh bien tout simplement parce que nous savons que le groupe de Galois des corps finis est cyclique, et donc le groupe de Galois de kappa sur F p, ici, est un groupe cyclique engendré par le morphisme de Frobénius, F p. Qui est défini par l'élévation à la puissance p. Donc puisqu'on a un isomorphisme du groupe de décomposition sur le groupe de Galois, on a un unique morphisme, disons à gauche, dans le groupe de décomposition, qui est l'antécédent du Frobenius dans le groupe de décomposition, et on le note, F indice m, il est caractérisé par l'identité suivante. Pour tout x dans kappa, F indice, m de x, est égal à x p, modulo, l'idéal maximal, m. Alors j'affirme que pour prouver le théorème, il suffit de prouver le lemme suivant. À savoir que, l'image du frobénius, F indice m, associé à un idéal maximal, qui contient le nombre premier petit p, eh bien l'image par le caractère cyclotomique, c'est simplement la classe de ce nombre premier dans, (Z/nZ*) ; ou, de manière équivalente d'après la caractérisation, à la fois du caractère cyclotomique, et du Frobenius F indice n, que F indice n de ksi est égal à ksi puissance p. Alors, pourquoi il suffit de prouver ce lemme? Eh bien, tout simplement parce que si vous avez prouvé ce lemme, ça veut dire que dans l'image du caractère cyclotomique vous avez toutes les classes des nombres premiers p qui sont premiers avec n. Et maintenant, nous venons de démontrer que les classes des nombres premiers p modulo n pour tous les nombres premiers p qui ne divisent pas n engendrent ce groupe des événements inversibles (Z/Zn*), de sorte que l'image de khi n, qui est un sous-groupe de (Z/Zn*), contient un système de générateurs de ce groupe, et donc c'est (Z/Zn*) tout entier. Ainsi on aura montré que khi est surjectif, comme on sait de manière générale qu'il est injectif on a donc bien montré qu'il est bijectif, ce qui est l'énoncé du théorème. Bien, eh bien il nous suffit de démontrer ce lemme. Alors, comment on fait ça? On a déjà rappelé que ce Frobenius F indice m, est caractérisé par l'identité pour tout x dans kappa, le corps résiduel le corps de décomposition résiduel, F indice m de x est égal à X puissance p modulo l'idéal maximal m. Bien, alors en spécialisant cette identité à x égale ksi, on obtient que les deux racines n-ièmes de l'unité d'une part, ksi 1 qui est égal à Fm de ksi, et ksi 2 qui est égal à ksi p, sont égales modulo m. Fm de ksi, c'est ksi 1, qui est égal à ksi puissance p, qu'est ksi 2. Sauf qu'ici j'ai écrit zêta, mais ce n'est pas grave. Donc on a deux racines de l'unité, zêta 1 et zêta 2, qui sont congrus modulo m. Pour terminer la preuve du théorème, je dois donc démontrer que non seulement zêta 1 et zêta 2 sont congrus modulo m mais qu'elles sont égales. Alors c'est vrai, pour des raisons très générales, qui est que l'application qui va du groupe des racines de l'unité complexes mu n de C dans le groupe des racines de l'unité de kappa, qui à zêta associe zêta barre, la réduction de modulo de l'idéal maximal m, est injective, et donc en fait bijective puisque ces deux ensembles, ont le même cardinal, réfléchissez un peu pourquoi. Alors, pour le prouver on prend deux racines de l'unité zêta 1 et zêta 2. Par définition complexe, ou par construction, comme vous voulez, ces deux racines 2 d'unité sont non seulement dans mu n de C mais elles sont dans cet anneau O. En effet, zêta 1 et zêta 2 sont des puissances de ksi, et O est engendré sur Z par ksi, donc zêta 1 et zêta 2 sont bien des éléments de O, de sorte qu'on peut les réduire modulo l'idéal maximal m, qui est un idéal de O. Je suppose que, elles sont distinctes mais que zêta 1 barre égale zêta 2 barre, c'est-à -dire zêta 1 égale zêta 2 modulo l'idéal maximal m. Alors je vais évidemment considérer le polynôme Xn- 1, que j'écris comme le produit de ces facteurs linéaires, de ces racines, produit des X moins zêta, zêta dans mu n de C. Je vais séparer les racines qui m'intéressent, zêta 1 et zêta 2, qui sont donc deux racines distinctes, donc elles se mettent en facteur chacune, et donc j'obtiens que Xn- 1 = X- zêta 1, facteur de X- zêta 2, facteur d'un certain polynôme P de X, qui est bien à coefficients dans O, car, pour les mêmes raisons que tout à l'heure, toutes les racines de l'unité sont bien des éléments de O. J'ai donc une égalité Xn- 1 à gauche, égale X- zêta 1 X- zêta de P de X, qui se passe dans O de X, et et donc je peux réduire modulo m, cet idéal maximal de O. En réduisant dans O sur m de X, c'est-à -dire dans kappa de X, j'obtiens Xn- 1 = X- zêta 1 barre, X- zêta 2 barre, P barre de X. Simplement, par hypothèse, j'ai supposé que zêta 1 barre égale zêta 2 barre. Ce qui fait que, dans le polynôme modulo m, dans le polynôme à coefficients dans kappa, j'ai X- zêta 1 barre au carré qui se met en facteur, c'est-à -dire que zêta 1 barre est une racine double du polynôme Xn- 1, vu cette fois-ci comme un polynôme à coefficients dans Fp. Et c'est impossible car nous déjà observé que puisque P ne divise pas n, le polynôme Xn- 1 modulo p n'a que des racines simples dans oméga donc en particulier dans kappa. n a donc une contradiction, c'est donc que l'hypothèse de départ zêta 1 différent de zêta 2 est absurde, et le lemme est démontré, Le lemme précédent est démontré ainsi que le théorème. Eh bine, nous avons donc réussi, grace au théorème de réduction modulo p, version forte, à calculer de manière très simple le groupe de Galois de l'extension cyclotomique, c'est un résultat qui est un pas vers quelque choses de beaucoup plus général, théorie du corps de classes, j'espère que avec ce résultat qui termine ce cours, vous aurez passé un bon moment, vous aurez appris j'espère de belles mathématiques, et que vous pourrez ainsi continuer votre vide de mathématiques en étudiant d'autres MOOC, dans le FLO, en allant dans des universités, en lisant des livres, ce qui est toujours une très bonne idée. Merci, et peut-être à une autre fois.
